Аналитическая геомерия на плоскости

Гипербола

Гипербола это геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек ${F_1}$ и ${F_2}$, называемых фокусами, постоянна.

  • Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
  • Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
  • Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
  • Середина большой оси называется центром гиперболы.
  • Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосьюгиперболы.
    • Обычно обозначается $a$.
  • Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокусным расстоянием.
    • Обычно обозначается $c$.
  • Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.
  • Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряжённой осью гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы записывается в виде :

$$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$$

где $b^2=c^2-a^2.$

Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной: \[\left| {{r_1} - {r_2}} \right| = 2a\]
где ${{r_1},{r_2}}$ − расстояния от произвольной точки $P\left( {x,y} \right)$ гиперболы до фокусов ${F_1}$ и ${F_2}$, $a$ − действительная полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы

\[y = \frac{b}{a}x,y =  - \frac{b}{a}x\]

Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием

\[{c^2} = {a^2} + {b^2},\]
где $c$ − половина фокусного расстояния, $a$ − действительная полуось гиперболы, $b$ − мнимая полуось.

Эксцентриситет гиперболы
\[e = \frac{c}{a} = \sqrt {1 + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}}  < 1.\]

Уравнения директрис гиперболы

Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее на расстоянии  $\frac{a}{e}$ от центра.

У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис имеют вид:

\[x =  \pm \frac{a}{e} =  \pm \frac{{{a^2}}}{c}\]

Касательная в точке $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$: 

$\frac{{{x_0}x}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}y}}{{{b^2}}} = 1$.

Прямая $y = kx + n$ будет касательной к эллипсу, если выполняенся условие:

${a^2}{k^2} - {b^2} = {n^2}$.

 

 

 hiperbola1