Аналитическая геомерия на плоскости

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки, называемой центром окружности.

Расстояние от центра до любой точки на окружности называется радиусом окружности.

Окружность радиуса $r$ с центром в точки $C\left( {p,q} \right)$ представляется уравнением:

${\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {y - q} \right)^2} = {r^2}$

 

kruznica

Уравнение

$A{x^2} + Bx + A{y^2} + Cy + D = 0$

- уравнение окружности, если

${B^2} + {C^2} - 4AD > 0$.

Тогда центр окружности $C\left( {p,q} \right)$ и радиус $r$ определены следующим образом:

$p =  - \frac{B}{{2A}}$, $q =  - \frac{C}{{2A}}$, ${r^2} = \frac{{{B^2} + {C^2} - 4AD}}{{4{A^2}}}$.

 

Касательная к окружности

Если точка ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ принадлежит окружности ${\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {y - q} \right)^2} = {r^2}$, тогда

$\left( {{x_0} - p} \right) \cdot \left( {x - p} \right) + \left( {{y_0} - q} \right) \cdot \left( {y - q} \right) = {r^2}$

Уравнение касательной к окружности в точке ${M_0}$.

Прямая $y = kx + n$ касательной к окружности ${\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {y - q} \right)^2} = {r^2}$ тогда и только тогда, когда

$\left( {1 + {k^2}} \right){r^2} = {\left( {q - kp - n} \right)^2}$.