Аналитическая геометрия в пространстве

Точка

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Расстояние $d$ между двумя точками ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)$ в пространстве, равно длине вектора $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {{x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}} \right)$:

$d = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} $.

Формулы деления отрезка в данном отношении

Пусть ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)$ две точки прямой $p$. 

Координаты точки $M\left( {x,y,z} \right)$, которая делит отрезок ${M_1}{M_2}$ отношении ${M_1}M:M{M_2} = m:n = \lambda :1$, вычисляются по формулам:

$x = \frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}} = \frac{{{x_1} + \lambda {x_2}}}{{1 + \lambda }}$,

$y = \frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}} = \frac{{{y_1} + \lambda {y_2}}}{{1 + \lambda }}$,

$z = \frac{{m{z_2} + n{z_1}}}{{m + n}} = \frac{{{z_1} + \lambda {z_2}}}{{1 + \lambda }}$.

Если $\lambda  = 1$, то точка $M\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},{\text{ }}\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2},{\text{ }}\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right)$ - середина отрезка ${M_1}{M_2}$.