Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение прямой

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве определяетя заданием какой-либо её фиксированной точки ${M_1}$ и вектора $\overrightarrow a  \ne 0$ ( направляющего вектора), параллельного этой прямой.

Пусть $M$ - произвольная точка прямой, $\overrightarrow r $ - радиус-ветор этой точки $M$, а $\overrightarrow {{r_1}} $ радиус-ветор точки ${M_1}$. Тогда уравнение прямой имеет вид:

$\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $

- векторное уравнение прямой.

где $\lambda  \in \mathbb{R}$.


 

jednacina prave vektorski oblik

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой, проходящих через точку ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и паралельной вектору $\overrightarrow a  \ne 0$, с координатами $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$, могут быть записаны следующим образом

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {x_1} + \lambda {a_1}} \\
{y = {y_1} + \lambda {a_2}} \\
{z = {z_1} + \lambda {a_3}}
\end{array}} \right.,{\text{ }}\lambda \in \mathbb{R}$.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$, лежащей на прямой и направляющий вектор $\overrightarrow a  \ne 0$ с координатоми $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующие формулы:

$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}},{\text{  }}{a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} \ne 0,{\text{ }}{{\text{a}}_3} \ne 0$,

$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}},{\text{  z - }}{{\text{z}}_1} = 0,{\text{  }}{a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} \ne 0,{\text{ }}{a_3} = 0$,

$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}},{\text{   }}y - {y_1} = 0,{\text{   z - }}{{\text{z}}_1} = 0,{\text{  }}{a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} = 0,{\text{ }}{a_3} = 0$.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через точки ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)$ можно записать:

  1. $\overrightarrow r  = \left( {{x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k } \right) + \lambda \left( {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\overrightarrow i  + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)\overrightarrow j  + \left( {{z_2} - {z_1}} \right)\overrightarrow k } \right)$, $\lambda  \in \mathbb{R}$
  2. параметричемкий вид

    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {x = {x_1} + \lambda \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \\
    {y = {y_1} + \lambda \left( {{y_2} - {y_1}} \right)} \\
    {z = {z_1} + \lambda \left( {{z_2} - {z_1}} \right)}
    \end{array}} \right\},\lambda \in \mathbb{R}$ 

  3. канонический вид
    $\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}$

Расстояние от точки до прямой в пространстве

  1. Расстояние $d$ от точки ${M_0}$ с радиус-вектором $\overrightarrow {{r_0}} $, до прямой, заданной уравнением $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $, вычисляется по формуле:
    $d = \left| {\frac{{\left( {\overrightarrow {{r_0}}  - \overrightarrow {{r_{_1}}} } \right) \times \overrightarrow a }}{{\overrightarrow a }}} \right|$.
  2. Расстояние $d$ от точки ${M_2}$ до прямой, заданной уравнением
    $\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_2} - {y_1}} \\
{{a_2}}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_2} - {z_1}} \\
{{a_3}}
\end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_2} - {z_1}} \\
{{a_3}}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2} - {x_1}} \\
{{a_1}}
\end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2} - {x_1}} \\
{{a_1}}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_2} - {y_1}} \\
{{a_2}}
\end{array}} \right|}^2}} }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} }}$.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Пересекающиеся прямые $l$ и ${l_1}$ образуют две пары вертикальных углов. В этом случае углом между прямыми называют один из пары меньших вертикальных углов.

Если прямые скрещиваются, то в углом между прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, который получается в результате параллельного переноса одной из прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую.

В обоих случаях, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых.

  1. Если прямые заданы уравнениями вида:
    $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $ и $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_2}}  + \lambda \overrightarrow b $.
    тогда угол $\alpha $ между ними вычисляется по формуле:
    $\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}$.
  2. Если прямые заданы уравнениями вида:
    $\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$
    и
    $\frac{{x - {x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{b_3}}}$,
    тогда угол $\alpha $ между ними вычисляется по формуле:
    $\cos \alpha  = \left| {\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}} \right|$.

Расстояние между непараллельными прямыми в пространсте

Расстояние $d$ между непараллельными прямыми в пространсте вычисляется по формулам:

  1. Если непараллельные прямые заданы уравнениями вида:
    $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $ и $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_2}}  + \lambda \overrightarrow b $
    то расстояние $d$  вычисляется по формуле:
    $d = \frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {{r_2}}  - \overrightarrow {{r_1}} } \right)\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right|}}$
  2. Если непараллельные прямые заданы уравнениями вида:
    $\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$
    и
    $\frac{{x - {x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{b_3}}}$ 
    то расстояние $d$  вычисляется по формуле:

    $d = \left| {\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}} \\
    {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}} \\
    {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}
    \end{array}} \right|}}{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_2}}&{{a_3}} \\
    {{b_2}}&{{b_3}}
    \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_3}}&{{a_1}} \\
    {{b_3}}&{{b_1}}
    \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_1}}&{{a_2}} \\
    {{b_1}}&{{b_2}}
    \end{array}} \right|}^2}} }}} \right|$