Аналитическая геометрия в пространстве

Векторы

Вектором называется направленнй отрезок $\overrightarrow {AB}$, точка $A$ - начало, точка $B$ - конец вектора.

Векторы обозначаются либо двумя большими буквами - своим началом и концом: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {XY} ,...$, либо одной малой буквой: $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,...,\overrightarrow x ,...$ .

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым вектором: $\overrightarrow {0} $.

Длиной (модулем) вектора $\overrightarrow {AB}$ называется расстояние между его началом и концом: $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ или $\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Единичный вектор, который одинаково направлен и лежит на параллельной прямой к вектору $\overrightarrow a $ обозначается $\overrightarrow {{a_0}} $.

Коллинеарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.

Два коллинеарных вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ называются сонаправленными, если их направления совпадают. Два коллинеарных вектора  $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ называются противоположно направленными, если их направления противоположны.

Записывают вектор $ - \overrightarrow a $, противоположно направлен вектору $\overrightarrow a $.

Нулевой вектор противоположен самому себе: $\overrightarrow 0  =  - \overrightarrow 0$.

Для противоположно направленных векторов справедливо:

$\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 ,{\text{  }}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0,{\text{  }} - \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow a $

Сложение и вычитание векторов

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Для того чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из конца по­лу­чен­но­го век­то­ра от­ло­жить вто­рой век­тор, и по­стро­ить век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го с кон­цом вто­ро­го – это и будет сумма двух век­то­ров.

vektori pravilo trougla png

Пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма

Чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить эти два век­то­ра и по­стро­ить на них па­рал­ле­ло­грамм. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щая из на­чаль­ной точки, и будет сум­мой за­дан­ных век­то­ров.

 

vektori

Свойства сложения векторов

Пусть $V$ множество всех векторов. Тогда для любых векторов $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ из $V$ справедливо:

  1.  $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \in V$,
  2.  $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$,
  3.  $\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow a  = \overrightarrow a $,
  4. $\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \left( { - \overrightarrow a } \right) + \overrightarrow a  = \overrightarrow 0$,
  5.  $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a$.


Вычитание векторов

Разность вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ есть вектор $\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow b } \right)$ и обозначается $\overrightarrow a  - \overrightarrow {b} $.

Умножение вектора на число

Произведением $\alpha  \cdot \overline a $ вектора $\overline a $ на число $\alpha $  называется вектор $\overline b $, удовлетворяющий условиям:

  1. $\overline b \parallel \overline a $
  2. $\left| {\overline b } \right| = \left| \alpha  \right|\left| {\overline a } \right|$
  3. $\overline a  \uparrow  \uparrow \overline b ,$ если $\alpha  > 0,$ и $\overline a  \uparrow  \downarrow \overline b ,$  если $\alpha  < 0$

Если $\alpha  = 0$ или $\overline a  = \overline 0,$ то $\alpha  \cdot \overline a  = \overline 0$

Свойства умножения вектора на число:

\[\begin{gathered}
  \left( {\alpha  \pm \beta } \right) \cdot \overline a  = \alpha  \cdot \overline a  \pm \beta  \cdot \overline a  \hfill \\
  \alpha \left( {\overline a  \pm \overline b } \right) = \alpha  \cdot \overline a  \pm \alpha  \cdot \overline b  \hfill \\
  \alpha  \cdot \left( {\beta  \cdot \overline a } \right) = \left( {\alpha  \cdot \beta } \right) \cdot \overline a  = \beta  \cdot \left( {\alpha  \cdot \overline a } \right) \hfill \\
  1 \cdot \overline a  = \overline a  \hfill \\
   - 1 \cdot \overline a  =  - \overline a  \hfill \\
  0 \cdot \overline a  = \overline 0  \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Деление вектора на число

Частное от деления вектора $\overrightarrow a $ на число $p \ne 0$ есть вектор:

$\frac{{\overrightarrow a }}{p} = \frac{1}{p}\overrightarrow a $.

Единичный вектор $\overrightarrow {{a_0}} $ вектора $\overline a $ можно получить, разделив вектор на его длину: если $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 $, тогда: 

 $\frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \overrightarrow {{a_0}} ,{\text{   }}\overrightarrow a  = \left| {\overrightarrow a } \right|\overrightarrow {{a_0}}$.

Линейная комбинация векторов

Вектор

$\overrightarrow s  = {p_1}\overrightarrow {{a_1}}  + {p_2}\overrightarrow {{a_2}}  +  \cdot  \cdot  \cdot  + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} ,{\text{   }}{p_i} \in \mathbb{R},{\text{   }}\overrightarrow {{a_i}}  \in V,{\text{   }}i = 1,2,.....,k,$

 

называется линейной комбинацией векторов $\overrightarrow {{a_i}}  \in V$, $i = 1,2,....,k$.

Векторы $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}} $  линейно зависимы, если существуют числа ${p_1},{p_2},....,{p_k}$, не все одновременно равные нулю, такие что:

${p_1}\overrightarrow {{a_1}}  + {p_2}\overrightarrow {{a_2}}  +  \cdot  \cdot  \cdot  + {p_k}\overrightarrow {{a_k}}  = \overrightarrow 0$.

В противном случае векторы $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}} $ линейно независимы.

Модуль (длина) и орт вектора

vektori intentzitet i ort vektora

В случае пространственной задачи модуль вектора $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_x}\overrightarrow k $ можно найти воспользовавшись следующей формулой:

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}  = a$

а орт вектора $\overrightarrow a $ -

$\overrightarrow {{a_0}}  = \frac{1}{a} \cdot \overrightarrow a  = \frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow i  + \frac{{{a_y}}}{a}\overrightarrow j  + a\frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow k $

или

$\overrightarrow {{a_0}}  = \cos \alpha \overrightarrow i  + \cos \beta \overrightarrow j  + \cos \gamma \overrightarrow k $

где  $\alpha ,\beta ,\gamma $ углы, которые вектор $\overrightarrow a $ образует с осями координат $x,y,z$.

Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация.

Скалярным произведением двух векторов $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

$\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Свойства скалярного произведения векторов

Если $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c  \in V$ и $\lambda  \in \mathbb{R}$, тогда:

  1. $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \overrightarrow b  \cdot \overrightarrow a $
  2. $\lambda \left( {\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b $
  3. $\overrightarrow a  \cdot \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow c $
  4. $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow a  = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$

Алгебраическая интерпретация.

Скалярным произведением двух векторов $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $.

Если $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow {k,} $, тогда:

$\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}$

Ортогоналност вектора

Ненулевые векторы $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ взаимно ортогональны (перпендикулярны), если

$\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0.$

Угол между векторами

Если $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow {k} $, тогда

$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}$,

$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}}}{{\sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}  \cdot \sqrt {b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} }}$.

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора $\overrightarrow a $ на вектор $\overrightarrow b $ называется вектор $\overrightarrow c  = \overrightarrow a  \times \overrightarrow b $, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от $\overrightarrow a $ к $\overrightarrow b $ вокруг вектора $\overrightarrow с $ осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора $\overrightarrow с $.

 

vektori vektorski proizvod vektora

Свойства векторного произведения

Если $\overrightarrow a ,\overrightarrow b  \in V$ и $\lambda  \in \mathbb{R}$, тогда:

  1. $\left| {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$,
  2. $\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a  = 0,{\text{   }}\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow b  = 0$,
  3. $\overrightarrow a  \times \overrightarrow b  =  - \overrightarrow b  \times \overrightarrow a $,
  4. $\lambda \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b $,
  5. $\overrightarrow a  \times \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) + \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow c } \right)$,
  6. $\overrightarrow a  \times \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) = 0$.

Формула для вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow {k} $ в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить по формуле:

$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\
{{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\
{{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}}
\end{array}} \right|$.

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора $\overrightarrow a $ на векторное произведение векторов $\overrightarrow b $ $\overrightarrow c $.

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение двух векторов $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow {k} $ в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить по формуле:

\[\bar a \cdot \left[ {\bar b \times \bar c} \right] = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\
  {{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \\
  {{c_x}}&{{c_y}}&{{c_z}}
\end{array}} \right|\]

Свойства смешанного произведения векторов

  • Модуль смешанного произведения трех векторов $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:
    Vпарал = |a · [b × c]|
  • Если смешанное произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти векторы компланарные (т.е. параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости).
  • \[\overline a  \cdot \left[ {\overline b  \times \overline c } \right] = \overline b  \cdot \left( {\overline a  \cdot \overline c } \right) - \overline c  \cdot \left( {\overline a  \cdot \overline b } \right)\]
  • \[\begin{gathered}
      \overline a  \cdot \left[ {\overline b  \times \overline c } \right] = \overline b  \cdot \left[ {\overline c  \times \overline a } \right] = \overline c  \cdot \left[ {\overline a  \times \overline b } \right] =  - \overline a  \cdot \left[ {\overline c  \times \overline b } \right] =  \hfill \\
       =  - \overline b  \cdot \left[ {\overline a  \times \overline c } \right] =  - \overline c  \cdot \left[ {\overline b  \times \overline a } \right] \hfill \\
    \end{gathered} \]
  • \[\overline a  \cdot \left[ {\overline b  \times \overline c } \right] + \overline b  \cdot \left[ {\overline c  \times \overline a } \right] + \overline c  \cdot \left[ {\overline a  \times \overline b } \right] = 0\]