Арифметика и алгебра

Действительные (вещественные) числа

Действительные (вещественные) числа

Действительные (вещественные) числа это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается $\mathbb{R}$.

Свойства действительных чисел

Для любых  действительных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо:

упорядоченность: для двух чисел $a$ и $b$ всегда или $a = b$ или $a \ne b$, (т.е. $a > b$ или  $a< b$)

рефлексивность: $a = a$,

симметричность: из $a = b$ следует $b = a$,

транзитивность: из $a = b$ и $b = c$ следует $a = c$.

Свойства сложения и умножения:

Замкнутость: если $a,b \in \mathbb{R}$, тогда $a + b \in \mathbb{R}$ и $ab \in \mathbb{R}$.

Если $a = {a_1}$ и $b = {b_1}$, тогда $$a + b = {a_1} + {b_1},$$ $$ab = {a_1}{b_1}$$

Коммутативность: $$a + b = b + a,$$ $$ab = ba$$

Ассоциативность: $$a + \left( {b + c} \right) = \left( {a + b} \right) + c = a + b + c,$$ $$a\left( {bc} \right) = \left( {ab} \right)c = abc$$

Нейтральный элимент для операции сложения (нуль) и операции умножеия (единица): $$a + \left( { - a} \right) = a - a = 0$$ $$a\left( {{a^{ - 1}}} \right) = a{a^{ - 1}} = 1, \left( {a \ne 0} \right)$$

дистрибутивность: $$a\left( {b + c} \right) = ab + ac.$$

Также можно доказать следующие свойства:

  1. $a \cdot 0 = 0$,
  2. для $a,b \in \mathbb{R}$, существует $x \in \mathbb{R}$ таой, что $a + x = b$,
  3. из $a + x = b + x$, следует, что $a = b$,
  4. для $a \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$, существует $x \in \mathbb{R}$ такой, что $ax = 1$,
  5. из $ax = bx,x \ne 0$, следует, что $a = b$, 
  6. из $ab = 0$, следует, что $a = 0$ или $b = 0$,
  7. из $ab \ne 0$, следует, что $a\ne 0$ и $b \ne 0$.

Неравенства

Действительное число $a$ может быть положительно ($a > 0$), отрицательно ($a < 0$) или равно нулю ($a = 0$)

Действительное число $a$ больше действительного числа $b\left( {a > b,b < a} \right)$, если $a = b + x$, где $x$ положительное действительное число.

Свойства неравенств:

  1. из $a > b$ следует, что $a + c > b + c$, $ac > bc$, если $c > 0$ и $ac > bc$, если $c < 0$. 
  2. из $a > b$ следует, что $\frac{1}{a} < \frac{1}{b},$ если $ab > 0$ и $\frac{1}{a} > \frac{1}{b},$ если $ab < 0$, 
  3. из $a \ge b$ и $b \ge c$ следует, что $a \ge c$, 
  4. из $a \le A$ и $b \le B$ следует, что $a + b \le A + B,$ где ${\rm{ }}A,B \in \mathbb{R}$ 

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Абсолютная величина (модуль)  $\left| a \right|$ действительного числа $a$ - это само число $a$, если $a \ge 0$, и $- a$, если $a < 0$ , т.е. $$\left|a \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a, a \ge 0,}\\ { - a, a < 0.}} \end{array}} \right.$$

Свойства абсолютной величины:

  1. $\left| a \right| \ge 0$ 
  2. $\left| a \right| = 0$ тогда и только тогда, когда $a=0$, 
  3. $\left| {\left| a \right| - \left| b \right|} \right| \le \left| {a \pm b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$, 
  4. $\left| {ab} \right| = \left| a \right|\left| b \right|$, 
  5. $\left| {\frac{a}{b}} \right| = \left| {\frac{a}{b}} \right|$ ако је $b \ne 0$, 
  6. из $\left| a \right| \le A$ и $\left| b \right| \le B$ следует, что $\left| {a + b} \right| \le A + B$ и $\left| {ab} \right| \le AB,$ где ${\rm{ A}}{\rm{,B}} \in \mathbb{R}$, 
  7. из $\left| a \right| \le \left| b \right|$ следует, что ${a^2} \le {b^2}$ и обратно.