Арифметика и алгебра

Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ -является подмножеством множества действительных чисел $\mathbb{R}$, для которого справедливо:

  1. $1 \in \mathbb{N}$ 
  2. из $k \in \mathbb{N}$ следует $k+1 \in \mathbb{N}$ 
  3. если подмножество $M$ множества $\mathbb{N}$ удовлетворяет условиям 1. и 2, тогда $ M = \mathbb{N}$. 

$$\mathbb{N} = \left\{ {1,2,....,n,...} \right\}$$

 

Множество целых чисел $\mathbb{Z} = \left\{ {0, + 1, - 1, + 2, - 2,..., + n, - n,...} \right\}$ - подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{Z} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| {x = m - k,{\rm{ }}m,k \in \mathbb{N} } \right.} \right\}$$

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{Q} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| x \right. = \frac{p}{q},{\rm{ }}p,q \in \mathbb{Z},{\rm{ }}q \ne 0} \right\}$$

Множество иррациональных чисел $\mathbb{I}$ подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$$

Справедливо следующее утверждение: $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$

Приближенное значение

Пусть $x*$ -приближенное значение числа $x$. Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. $$\Delta \left( {x*} \right) = x - x*,$$ 

Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью. $$\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right| = \left| {x - x*} \right|.$$

Число ${\Delta _{{x^*}}}$, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью приближенного значения $x*$. $$\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right| \le {\Delta _{{x^*}}}$$

Относительной погрешностью приближенного значения $x* \ne 0$ называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения: $$\delta \left( {x*} \right) = \frac{{\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right|}}{{\left| {x*} \right|}} = \frac{{\left| {x - x*} \right|}}{{x*}}$$

Число ${\delta _{{x^*}}}$, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью приближенного значения $x*$. $$\delta \left( {{x^*}} \right) \le {\delta _{{x^*}}}$$

Если известна предельная абсолютная погрешность ${\Delta _{{x^*}}}$, за предельную относительную погрешность можно взять $${\delta _{{x^*}}} = \frac{{{\Delta _{{x^*}}}}}{{\left| {{x^*}} \right|}},$$ число $x$ записывается в виде: $$x = {x^*}\left( {1 \pm {\delta _{{x^*}}}} \right)$$

Можно представить относительную погрешность в процентах – в этом случае её нужно умножить на 100. Так вы узнаете, какой процент от полученного вами значения составляет погрешность.

Формы записи приближенных чисел

Приближенные числа записываются либо в виде конечных десятичных дробей, либо в виде целых чисел.

Естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи конечной десятичной дроби называется следующая запись

$${x^*} = \pm \left( {{a_n} \cdot {{10}^n} + {a_{n - 1}} \cdot {{10}^{n - 1}} + .... + {a_{0}} \cdot {{10}^{0}} + {a_{-1}} \cdot {{10}^{-1}}+ ... + {a_{- m}} \cdot {{10}^{- m}}} \right).$$

Определение естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи целого числа дается аналогично.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Например, число 1.7230 имеет 5 значащих цифер , а число 0.0491 имеет 3 значащих цифры.

Цифра приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком смысле.

Цифра приближенного числа называется верной в узком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в узком смысле.

Приближенное значение $x*$ числа $x$ для которого

$$\left| {x - {x^*}} \right| \le \omega \cdot {10^{n - m + 1}},\omega \in \left[ {0.5,1} \right]$$

имеет $m$ значащих цифр, верных в узком смысле, если $\omega = 0.5$ и верных в узком смысле, если $\omega = 1$.