Арифметика и алгебра

Пропорциональность

Отношение – это частное от деления одного числа $a$ на другое число $b \ne 0$. 

Пропорция это равенство двух отношений. Например,

 $$a:b = c:d$$

Члены $a$ и $d$ пропорции называются крайние члены пропорции, а $b$ и $c$ – средние члены пропорции.

Частное величин, составляющих пропорцию, называется коэффециентом пропорциональности.

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины $x$ и $y$ прямо пропорциональны, если $$y = kx, {\rm{ }}k > 0$$.

Две величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны, если $$y = \frac{k}{x},{\rm{ }}x \ne 0,{\rm{ }}k > 0$$.

Свойства пропорции

  • Если $a:b = c:d$, то  $ad = bc$ и $d:b = c:a,  {\rm{ }}d:c = b:a,  {\rm{ }}a:c = b:d$
  • Если $a:b = c:d$ и $k$ произвольное число, отличное от нуля, тогда $$\left( {ak} \right):\left( {bk} \right) = c:d, {\rm{ }}\left( {a:k} \right):\left( {b:k} \right) = c:d$$ $$\left( {ak} \right):b = \left( {ck} \right):d, {\rm{ }}\left( {a:k} \right):b = \left( {c:k} \right):d.$$
  • Если $a:b = c:d$ и $m,n,p$ и $q$ различные числа, отличные от нуля, тогда $$\left( {a \pm b} \right):\left( {c \pm d} \right) = a:c = b:d,$$ $$\left( {a + b} \right):\left( {c + d} \right) = \left( {a - b} \right):\left( {c - d} \right),$$ $$\left( {ma \pm nb} \right):\left( {mc \pm nd} \right) = \left( {pa \pm qb} \right):\left( {pc \pm qd} \right).$$
  • Если $${a_1}:{b_1} = {c_1}:{d_1},$$ $${a_2}:{b_2} = {c_2}:{d_2},$$ . . . $${a_n}:{b_n} = {c_n}:{d_n},$$ тогда $$\left( {{a_1}{a_2}...{a_n}} \right):\left( {{b_1}{b_2}...{b_n}} \right) = \left( {{c_1}{c_2}...{c_n}} \right):\left( {{d_1}{d_2}...{d_n}} \right).$$ 
  • Если $a:b = b:c,$ тогда $$b = \sqrt {ac} $$ 
  • Если ${a_1}:{a_2}:...:{a_n} = {b_1}:{b_2}:...:{b_n},$ и ${k_{1,}},{k_2},...{k_n}$ различные, отличные от нуля числа, тогда $$\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}} = \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}},$$ $$\frac{{{k_1}{a_1} + {k_2}{a_2} + ... + {k_n}{a_n}}}{{{k_1}{b_1} + {k_2}{b_2} + ... + {k_n}{b_n}}} = \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}.$$

 Золотое сечение $$a:x = x:\left( {a - x} \right),{\rm{ }}a > x.$$ Среднее арифметическое $$a = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n},$$ Среднее геометрическое $$g = \sqrt[n]{{{a_1}  {a_2}  ...  {a_n}}},$$ Среднее гармоническое $$h = \frac{n}{{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}}}}},{\rm{ }}{a_1}{a_2}...{a_n} \ne 0,$$