Действительная функция действительной переменной

Монотонность функции

Монотонность

Монотонная функция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает.

Функция $y = f\left( x \right)$ называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

\[f\left( x \right) \uparrow :{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\]

Функция $y = f\left( x \right)$ называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

\[f\left( x \right) \downarrow :{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\]

Функция $y = f\left( x \right)$ называется неубывающей на промежутке, если из неравенства ${x_1} < {x_2}$ следует неравенство $f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right)$.

Функция $y = f\left( x \right)$ называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства ${x_1} < {x_2}$ следует неравенство $f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right)$.

Связь монотонности функции с ее производной

Если производная функции $f'\left( x \right) > 0$ на некотором промежутке $X$, то функция $y = f\left( x \right)$ возрастает на этом промежутке; если же $f'\left( x \right) < 0$ на промежутке $X$, то функция $y = f\left( x \right)$ убывает на этом промежутке.

Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то $f'\left( {{x_0}} \right) \geqslant 0$  или не существует.

Условия монотонности функции

Функција $f$, диференцијабилна на $\left[ {a,b} \right]$, расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када је $f'\left( x \right) \geqslant 0{\text{    }}\left( {f'\left( x \right) \leqslant 0} \right)$ за све $x \in \left( {a,b} \right)$.

Ако при том не постоји интервал $\left( {\alpha ,\beta } \right) \subset \left( {a,b} \right)$, таква да је $f'\left( x \right) = 0,{\text{ }}x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$, онда функција $f$ строго расте (опада).