Дифференциальное исчисление

Непрерывно дифференцируемая функция

Непрерывно дифференцируемая функция есть дифференцируемая функция, у которой первая производная непрерывна. Такие функции часто называют гладкими функциями.

Рассматривают также дважды непрерывно дифференцируемые функции — функции имеющие непрерывную вторую производную.

Аналогично можно ввести понятие $n$ - раз непрерывно дифференцируемых функций.

Если класс непрерывных функций обозначают через $C$, то класс непрерывно дифференцируемых функций обычно обозначают через ${C^1}$, класс $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций обозначают через ${C^n}$.

Таблица производных, производные основных элементарных функций

Функция производная функция производная
 $c\left( {const} \right)$ 0  $\sin x$  $\cos x$
 ${x^n}$ $n{x^{n - 1}},n \in \mathbb{N}$  $\cos x$  $ - \sin x$
 $\frac{1}{x}$ $ - \frac{1}{{{x^2}}}$  ${\text{tg}}x$  $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\sec ^2}x$
 $\frac{1}{{{x^n}}}$  $ - \frac{n}{{{x^{n + 1}}}}$  ${\text{ctg }}x$  $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  - \cos e{c^2}x$
 ${x^a}$  $a{x^{a - 1}},a \in \mathbb{R}$  $\sec {\text{ }}x$  $\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$
 $\sqrt x $  $\frac{1}{{2\sqrt x }}$  $\cos ec{\text{ }}x$  $ - \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$
 $\sqrt[n]{x}$  $\frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$  $\arcsin x$  $\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
 ${e^x}$  ${e^x}$  ${\text{arccos }}x$  $\frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
 ${a^x}$  ${a^x}\ln a$  ${\text{arctg }}x$  $\frac{1}{{1 + {x^2}}}$
 $In{\text{ }}x$  $\frac{1}{x}$  ${\text{arcctg }}x$  $\frac{{ - 1}}{{1 + {x^2}}}$
 ${\log _a}\left| x \right|$  $\frac{1}{{x\ln a}} = \frac{1}{x}{\log _a}e,$  ${\text{arcsec }}x$  $\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}$
 $\log x$  $\frac{1}{x}\log e \approx \frac{{0.4343}}{x}$  ${\text{arccos }}x$  $\frac{{ - 1}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}$
 $sh{\text{ }}x$  $ch{\text{ }}x$  $arcsh{\text{ }}x$  $\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
 $ch{\text{ }}x$  $sh{\text{ }}x$  $arcch{\text{ }}x$  $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$
 $th{\text{ }}x$  $\frac{1}{{c{h^2}x}}$  $arcth{\text{ }}x$  $\frac{1}{{1 - {x^2}}}$
 $cth{\text{ }}x$  $\frac{{ - 1}}{{s{h^2}x}}$  $arccth{\text{ }}x$  $\frac{{ - 1}}{{1 - {x^2}}}$

 

функция $n$-я производная
${x^m}$ $m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \cdot  \cdot  \cdot \left( {m - n + 1} \right){x^{m - n}}$
для целых $n > m$, $n$-я производная равна 0 
$In{\text{ }}x$ ${\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n}}}$
$I{n_a}{\text{ }}x$ ${\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n} \cdot In{\text{ }}a}}$
${e^{kx}}$ ${k^n}{e^{kx}}$
${a^x}$ ${\left( {In{\text{ }}a} \right)^n}{a^x}$
${a^{kx}}$ ${\left( {k{\text{ }}In{\text{ }}a} \right)^n}{a^{kx}}$
$\sin {\text{ }}x$ $\sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\cos {\text{ }}x$ $\cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\sin {\text{ }}kx$ ${k^n}\sin \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\cos {\text{ }}kx$ ${k^n}\cos \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$sh{\text{ }}x$ $sh{\text{ }}x$ для чётного $n$, $ch{\text{ }}x$ для нечётного $n$
$ch{\text{ }}x$ $ch{\text{ }}x$ для чётного $n$, $sh{\text{ }}x$ для нечётного $n$

 

Правила вычисления производных

  1. Функция дифференцируемая в точке ${x_0}$, непрерывна в этой точке.
  2. Пусть функции  $f$ и $g$  имеют производные в точке ${x_0}$. Тогда функция $\alpha f + \beta g,{\text{ }}\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}$, дифференцируемая в точке ${x_0}$ и справедливо правило

    $\left( {\alpha f + \beta g} \right)'{|_{x = {x_0}}} = \alpha f'\left( {{x_0}} \right) + \beta g'\left( {{x_0}} \right)$.

  3. Пусть функции  $f$ и $g$  имеют производные в точке ${x_0}$. Тогда функция $f \cdot g$ дифференцируемая в точке ${x_0}$ и справедливо правило

    ${\left. {\left( {f \cdot g} \right)`} \right|_{x = {x_0}}} = f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right).$
     
  4. Пусть функции  $f$ и $g$  имеют производные в точке ${x_0}$ и $g\left( {{x_0}} \right) \ne 0$.
    Тогда функция $\frac{f}{g}$ дифференцируемая в точке ${x_0}$ и справедливо правило

    ${\left. {{{\left( {\frac{f}{g}} \right)}^`}} \right|_{x = {x_0}}} = \frac{{f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right)}}{{{{\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)}^2}}}$