Дифференциальное исчисление

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля.

(О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция  $y = f\left( x \right)$ 

  1. непрерывна на отрезке $\left[ {a;b} \right]$ ;
  2. дифференцируема на интервале $\left( {a;b} \right)$;
  3. на концах отрезка $\left[ {a;b} \right]$  принимает равные значения $f\left( a \right) = f\left( b \right)$ .

Тогда на интервале $\left( {a;b} \right)$  найдется, по крайней мере, одна точка ${{x_0}}$, в которой $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если $f\left( a \right) = f\left( b \right) = 0$, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа.

(О конечных приращениях)

Пусть функция $y = f\left( x \right)$ 

  1. непрерывна на отрезке $\left[ {a;b} \right]$;
  2. дифференцируема на интервале $\left( {a;b} \right)$.

Тогда на интервале $\left( {a;b} \right)$ найдется по крайней мере одна точка ${{x_0}}$, такая, что

$f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$.

Теорема Коши.

(Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции $y = f\left( x \right)$ и $y = g\left( x \right)$:

  1. непрерывны на отрезке $\left[ {a;b} \right]$;
  2. дифференцируемы на интервале $\left( {a;b} \right)$;
  3. производная $g'\left( x \right) \ne 0$  на интервале $\left( {a;b} \right)$,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка ${{x_0}}$, такая, что

\[\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} = \frac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{g'\left( {{x_0}} \right)}}\]

Формула Тейлора

Пусть функция $y = f\left( x \right)$ $(n+1)$ - раз дифференцируема на интервале $\left( {a - b,a + b} \right),b > 0$. Тода для любого $x,{x_0} \in \left( {a - b,a + b} \right)$ справедливо

$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f`\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f``\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^n} + {R_n}\left( x \right),$

где

${R_n}\left( x \right) = \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( {{x_0} + \tau \left( {x - {x_0}} \right)} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^{n + 1}},\tau  \in \left( {0,1} \right).$

Другой вид теоремы Тейлора

Пусть $f \in {C^{n + 1}}\left[ {a,b} \right]$ и пусть ${f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( x \right)$ для $x \in \left[ {a,b} \right]$. Тогда существует $\tau  \in \left( {a,b} \right)$ такое что

$f\left( b \right) = f\left( a \right) + f`\left( a \right)\left( {b - a} \right) + \frac{{{f^n}\left( a \right)}}{{2!}}{\left( {b - a} \right)^2} + ... + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)}}{{n!}}{\left( {b - a} \right)^n} + \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \tau  \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{\left( {b - a} \right)^{n + 1}}$.

 

Формула Маклорена

В формуле Тейлора положим ${x_0} = 0$. Тогда получим частный вид формулы Тейлора - формулу Маклорена.

Пусть $f \in {C^{n + 1}}\left[ {a,b} \right]$ и  $0 \in \left[ {a,b} \right]$. Тогда для любого $x \in \left[ {a,b} \right]$ найдётся $\tau  \in \left( {a,b} \right)$ такое что

$f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + f`\left( 0 \right)x + \frac{{f``\left( 0 \right)}}{{2!}}{x^2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)}}{{n!}}{x^n} + \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \tau  \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{x^{n + 1}}.$