Дифференциальное исчисление

Выпуклость функции, точки перегиба

График функции $y = f\left( x \right)$, дифференцируемой на интервале $\left( {a;b} \right)$, является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала $\left( {a;b} \right)$ лежит не выше любой своей касательной.

График функции $y = f\left( x \right)$, дифференцируемой на интервале $\left( {a;b} \right)$, является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала $\left( {a;b} \right)$ лежит не ниже любой своей касательной.

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема (Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция $y = f\left( x \right)$ определена на интервале $\left( {a;b} \right)$ и имеет непрерывную, не равную нулю в точке ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ вторую производную. Тогда, если $f''\left( x \right) > 0$  всюду на интервале $\left( {a;b} \right)$, то функция имеет вогнутость на этом интервале, если $f''\left( x \right) < 0$, то функция имеет выпуклость.

Точкой перегиба графика функции $y = f\left( x \right)$ называется точка $M\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right)$, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема (О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция $y = f\left( x \right)$ имеет перегиб в точке $M\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right)$, то $f''\left( {{x_1}} \right) = 0$ или не существует.

Теорема (О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

  1. первая производная $f'\left( x \right)$ непрерывна в окрестности точки ${x_1}$; 
  2. вторая производная $f''\left( x \right) = 0$  или не существует в точке ${x_1}$;
  3. $f''\left( x \right)$ при переходе через точку ${x_1}$ меняет свой знак,

тогда в точке $M\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right)$ функция $y = f\left( x \right)$ имеет перегиб.

Первое достаточное условие перегиба.

Пусть функция $y = f\left( x \right)$ непрерывна в точке $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$, имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки ${x_0}$. Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от ${x_0}$, вторая производная имеет разные знаки, то $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$  является точкой перегиба графика функции.

Второе достаточное условие перегиба.

Если $f''\left( {{x_0}} \right) = 0$, а $f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0$, тогда ${x_0}$ является абсциссой точки перегиба графика функции $y = f\left( x \right)$.

Третье достаточное условие перегиба.

Пусть $f'\left( {{x_0}} \right) = 0,f''\left( {{x_0}} \right) = 0,...,{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) = 0,$ а ${f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0$, тогда если $n$ – четное число, то ${x_0}$  является абсциссой точки перегиба графика функции $y = f\left( x \right)$.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

  1. Найти вторую производную функции.
  2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением $y = f\left( x \right)$, то уравнение касательной к ней в точке $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ имеет вид:

\[y - {y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\]

а уравнение нормали:

\[y - {y_0} =  - \frac{1}{{y'\left( {{x_0}} \right)}}\left( {x - {x_0}} \right)\]