Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производые различных порядков этой функции.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

$F\left( {x,y,y',y'',y''',....,{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0.$

Порядком диффереального уравнения называется порядок наивысшей производной в него входящей.

Любая функция $y = \varphi \left( x \right)$, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, т.е. обращает его в тождество при замене $y$ и его производных на $\varphi \left( x \right)$ и её производные называется решением диффереального уравнения.

Замечание 1.

Если искомая функция $y = \varphi \left( x \right)$ зависит от одной переменной, то диффереальное уравнение называется обыкновенным.

Замечание 2.

Если искомое решение получено в неявном виде, то это интеграл уравнения.

Общим решением диффереального уравнения называется такое его решение: $y = \varphi \left( {x,{C_1},{C_2},...,{C_n}} \right)$ которое содержит столько независимых произвольных постоянных ${{C_1},{C_2},...,{C_n}}$, каков порядок этого уравнения.

Если общее решение задано в неявном виде $\left( {x,y,{C_1},{C_2},...,{C_n}} \right) = 0$, то его называют общим интегралом.