Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

$F\left( {x,y,y'} \right) = 0$.

Его общее решение имеет вид:

$y = f\left( {x,c} \right)$.

 

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.

  1. Дифференциальные уравнения с разделёнными перемеными: \[{f_1}\left( x \right)dx = {f_2}\left( y \right)dy,\] где множителем при $dx$ является функция, зависящая только от $x$, а множителем при $dy$ является функция, зависящая только от $y$. Решение находится методом интегрирования обеих частей.\[\int {{f_1}\left( x \right)dx}  = \int {{f_2}\left( y \right)dy}  + C\]
  2. Дифференциальные уравнения вида \[y' = {f_1}\left( x \right){f_2}\left( y \right)dy,\] где правая часть представляет собой произведение двух функций, из которых одна не зависит от $x$, а вторая не зависит от $y$, называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения:\[\int {\frac{{dy}}{{{f_2}\left( x \right)}}}  = \int {{f_1}\left( x \right)dx}  + C\]
  3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, записанные в форме дифференциалов: \[{f_1}\left( x \right) \cdot {f_2}\left( y \right)dx + {f_3}\left( x \right) \cdot {f_4}\left( y \right)dy = 0\] для решения таких дифференциальных уравнений их надо привести к уравнениям с разделёнными переменными.\[\int {\frac{{{f_1}\left( x \right)}}{{{f_3}\left( x \right)}}} dx + \int {\frac{{{f_4}\left( y \right)}}{{{f_2}\left( y \right)}}dy}  = C\]

Функция $f\left( {x,y} \right)$ называется однородной функцией n-го измерения, если при замене в ней переменных $x$ и $y$ соответственно на $tx$ и $ty$, где  $t$ - произвольная величина (параметр) получается та же функция, умноженная на ${t^n}$, т.е. если выполняется условие: \[f\left( {tx,ty} \right) = {t^n} \cdot f\left( {x,y} \right)\] n- степень однородности уравнения.

Однородная функция степени $n$ представима в виде \[f\left( {x,y} \right) = {x^n} \cdot \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

Однородная функция нулевой степени может быть записана в виде \[f\left( {x,y} \right) = \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

Если функции $M\left( {x,y} \right)$ и $N\left( {x,y} \right)$ однородные одной и той же степени $n$, то дифференциальное уравнение \[M\left( {x,y} \right)dx + N\left( {x,y} \right)dy = 0\] называется однородным.

Уравнение $y' = f\left( {x,y} \right)$ называется однородным, если оно имеет вид: \[y' = \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

Очевидно, что $f\left( {x,y} \right)$ однородная функция нулевого измерения.

Однородные уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися перемеными при помощи подстановки.

$t = \frac{y}{x}$ т.е. $y = tx$ и $y' = t'x + t$ или в дифференциалах $dy = tdx + xdt$.

Линейные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется такое дифференциальное уравнение, в которое неизвестные функции  $y$ и ${y'}$ входят в первых степенях и не перемножаются между собой.

Общий вид линейного уравнения первого порядка: \[y' + P\left( x \right) \cdot y = Q\left( x \right)\]

Если $Q\left( x \right) = 0$, то это линейное однородное уравнение с разделяющимися переменными.

Методы решения:метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли

  1. Будем искать решение в виде $y = U \cdot V$, тогда $y' = U'V + V'U$ или $dy = Vdu + Udv$ (это подстановка Бернулли, где $v$ - вспомогательная функция.) Пример. \[\begin{gathered}
      xy' - 2y = 2{x^4} \hfill \\
      x\left( {U'V + V'U} \right) - 2UV = 2{x^4} \hfill \\
      xU'V + xV'U - 2UV = 2{x^4} \hfill \\
    \end{gathered} \]
  2. $xU'V + U\left( {xV' - 2V} \right) = 2{x^4}$ найдём функцию $V$ таким образом, чтобы выражение в скобках было равно нулю. \[\begin{gathered}
      xV' - 2V = 0 \hfill \\
      x\frac{{dV}}{{dx}} = 2V \hfill \\
      \int {\frac{{dV}}{{dx}} = 2\int {\frac{{dx}}{x}} }  \hfill \\
    \end{gathered} \] Интегрируя уравнение, получим $\ln V = \ln {x^2} \Rightarrow V = {x^2}.$ Поскольку функция $V$ выбрана, чтобы удовлетворять определённому условию мы опускаем постоянную $С$. Полученное выражение подставляем в исходное уравнение \[\begin{gathered}
      x \cdot \frac{{dU}}{{dx}} \cdot {x^2} = 2{x^4} \hfill \\
      \frac{{dU}}{{dx}} = x \Rightarrow U = \int {xdx = {x^2}}  + C \hfill \\
    \end{gathered} \] Объединив полученные выражения для $V$ $U$ в подстановке Бернулли, получим окончательное общее решение уравнения $y = {x^2}\left( {{x^2} + C} \right).$

Метод вариации произвольной постоянной. (Метод Лагранжа)

Покажем применение метода на том же примере.

\[xy' - 2y = 2{x^4}\]  Сначала решаем данное уравнение без правой части:\[\begin{gathered}
  xy' - 2y = 2{x^4} \hfill \\
  x\frac{{dy}}{{dx}} = 2y \hfill \\
  xy' - 2y = 0 \hfill \\
  \frac{{dy}}{y} = 2\frac{{dx}}{x} \hfill \\
  \ln y = 2\ln x + \ln C \hfill \\
  y = C \cdot {x^2} \hfill \\
\end{gathered} \] Пусть $C = C\left( x \right)$ - некоторая неизвестная функция в исходном уравнении, тогда \[\begin{gathered}
  y = {x^2} \cdot C\left( x \right) \hfill \\
  y' = 2x \cdot C\left( x \right) + {x^2} \cdot C'\left( x \right) \hfill \\
\end{gathered} \] Подставляем в исходное уравнение\[\begin{gathered}
  x \cdot 2x \cdot C\left( x \right) + x \cdot {x^2} \cdot C'\left( x \right) - 2{x^2} \cdot C\left( x \right) = 2{x^4}\left| { \div \left( {{x^2}} \right)} \right. \hfill \\
  2C\left( x \right) + x \cdot C'\left( x \right) - 2C\left( x \right) = 2{x^2} \hfill \\
  C'\left( x \right) = 2x \Rightarrow C\left( x \right) = \int {2xdx = {x^2}}  + C \hfill \\
\end{gathered} \] Подставляем полученное выражение в $y = {x^2} \cdot C\left( x \right)$ и получает окончательное решение $y = {x^2} \cdot \left( {{x^2} + C} \right).$

Уравнение Бернулли.

Общий вид уравнения:\[y' + P\left( x \right)y = Q\left( x \right){y^n}\] слева линейное выражение, а справа присутсвует множитель ${y^n}\left( {n = const} \right)$. Умножим обе части на  $\frac{1}{{{y^n}}}$ \[\frac{1}{{{y^n}}}\frac{{dy}}{{dx}} + P\left( x \right)\frac{1}{{{y^{n - 1}}}} = Q\left( x \right)\] Применим подстановку

$z\left( x \right) = \frac{1}{{{y^{n - 1}}}}$ и $\frac{{dz}}{{dx}} = z' = \left( {1 - n} \right) \cdot \frac{1}{{{y^n}}} \cdot y'$ $\frac{1}{{{y^n}}} \cdot y' = \frac{{z'}}{{\left( {1 - n} \right)}}$ получим дифференциальное уравнение вида:\[\begin{gathered}
  \frac{{z'}}{{\left( {1 - n} \right)}} + P\left( x \right)z\left( x \right) = Q\left( x \right) \hfill \\
  \frac{{dz}}{{dx}} + \left( {1 - n} \right)P\left( x \right)z\left( x \right) = Q\left( x \right)\left( {1 - n} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]Это линейное уравнение I-го порядка, для его решения применяем, например, подстановку Бернулли.