Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения второго порядка.

В дифференциальном уравнении второго порядка \[F\left( {x,y,y',y''} \right) = 0\] выразим вторую производную:

$y'' = f\left( {x,y,y'} \right)$               (*)

Теорема о существовании и единственности решения уравнения (*). Если в некоторой области $D$ функция $f\left( {x,y,y'} \right)$ и ее частные производные непрерывны, то для любой точки ${M_0}\left( {{x_0},{y_0},{{y'}_0}} \right) \in D$ существует единственное решение $y = \varphi \left( x \right)$ удовлетворяющее начальным условиям:\[{y_0} = \varphi \left( {{x_0}} \right);{{y'}_0} = \varphi '\left( {{x_0}} \right).\]

Общим решением уравнения (*) называется функция \[y = \varphi \left( {x,{C_1},{C_2}} \right),\]зависящая от произвольных постоянных ${{C_1},{C_2}}$ и удовлетворяющая условиям:

  1. при любых значениях постоянных ${{C_1} = {C_1}^ * ,{C_2} = {C_2}^ * }$ функция $y = \varphi \left( {x,{C_1}^ * ,{C_2}^ * } \right),$ является решением уравнения (*); 
  2. для любой точки ${M_0}\left( {{x_0},{y_0},{{y'}_0}} \right) \in D$ существуют значения постоянных ${{C_1} = {C_1}^ * ,{C_2} = {C_2}^ * }$, что ${y_0} = \varphi \left( {x,{C_1}^ * ,{C_2}^ * } \right),{y_0}^\prime  = \varphi '\left( {x,{C_1}^ * ,{C_2}^ * } \right).$

Рассмотрим типы уравнений второго порядка.

I. Уравнение, не содержащее явно переменную $у$

$F\left( {x,y',y''} \right) = 0$          (1*)

Решение этого уравнения сводится к решению двух уравнений первого порядка. Для этого сделаем замену $y' = g\left( x \right),y'' = g'\left( x \right).$ Получим систему из двух уравнений \[\left\{ \begin{gathered}
  F\left( {x,g\left( x \right),g'\left( x \right)} \right) = 0 \hfill \\
  y' = g\left( x \right) \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]В первую очередь решаем первое уравнение, и, подставляя полученное решение во второе уравнение, определяем искомую функцию.

II. Уравнение, не содержащее явно переменную $х$

$F\left( {y,y',y''} \right) = 0$             (2*)

В этом случае вводим новую функцию, зависящую от $y$:\[y' = p\left( y \right),y''\left( x \right) = p \cdot \frac{{dp}}{{dy}}.\]

III.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассуждения данного раздела могут быть применены и для подобных уравнений более высокого порядка.

В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка может быть записано в следующем виде:

 

$y'' + a(x)y' + b(x)y = f\left( x \right)$       (**)

 

В случае равенства правой части тождественно нулю уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным. Рассмотрим в начале однородные уравнения.

1. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение

$y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$     (1**)

Рассмотрим некоторые свойства этих уравнений.

Теорема 1. Если функции $y = {\varphi _1}\left( x \right),$ $y = {\varphi _2}\left( x \right)$ - два решения данного уравнения, то их линейная комбинация \[y = {\alpha _1}{\varphi _1}\left( x \right) + {\alpha _2}{\varphi _2}\left( x \right)\] тоже является решением этого уравнения.

Функции ${y_1}\left( x \right),{y_2}\left( x \right),...,{y_n}\left( x \right)$ - называются линейно независимыми на отрезке $\left[ {a;b} \right]$, если их линейная комбинация  ${\alpha _1}{y_1}\left( x \right) + {\alpha _2}{y_2}\left( x \right) + ... + {\alpha _n}{y_n}\left( x \right)$ ни при каких значениях ${\alpha _i}$, кроме случая ${\alpha _i} \equiv 0,\forall i$, не обращается в ноль (для всех значений  $x \in \left[ {a;b} \right]$).

В противном случае функции называются линейно зависимыми.

Теорема 2. Если  ${y_1}\left( x \right)$ и ${y_2}\left( x \right)$- два линейно независимых решения уравнения (1**), то общее решение представимо в виде линейной комбинации данных частных решений\[y = {C_1} \cdot {y_1}\left( x \right) + {C_2} \cdot {y_2}\left( x \right)\]

2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Общее решение неоднородного уравнения\[F\left( {x,y,y',y''} \right) = f\left( x \right)\]

может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения (1**) и некоторого частного решения неоднородного уравнения\[{y_{он}} = {y_{оо}} + {y_{чн}}.\]

3.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Если коэффициенты $p$ и $q$ постоянны, т.е. не зависят от  $x$, то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так:

$y'' + py' + qy = 0$       (2**)

Решение уравнения будем искать в следующем виде $y = {e^{kx}}$. Подставив данную функцию в уравнение (2**), будем иметь \[{k^2}{e^{kx}} + pk{e^{kx}} + q{e^{kx}} = 0\] или \[{k^2} + pk + q = 0\] т.к. экспонента никогда не может обратиться в ноль.

Уравнение ${k^2} + pk + q = 0$ называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (2**).

При решении характеристического уравнения возможны три случая:

  1. Если $D > 0$, то корни $k_1$ и $k_2$ - действительные различные числа. В этом случае функции ${y_1} = {e^{{k_1}x}},{y_2} = {e^{{k_2}x}}$ - два линейно независимых решения уравнения (2**), следовательно, общим решением будет следующая функция\[{y_{}} = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}}.\]
  2. Если $D = 0$, то корни $k_1=k_2$. Одно решение уравнения (2**) – это функция ${y_1} = {e^{kx}}$. Вместо второго решения (это можно проверить, подставив данную функцию в уравнение) надо взять функцию ${y_2} = x{e^{kx}}$. Эти функции будут линейно независимыми. В этом случае получим общее решение \[{y_{}} = {C_1}{e^{kx}} + {C_2}x{e^{kx}}.\]
  3. Если же $D < 0$, то корни $k_1$ и $k_2$ - комплексные числа. В этом случае можно рассмотреть два линейно независимых решения \[{y_1} = {e^{\alpha x}}cos\beta x,{y_2} = {e^{\alpha x}}\sin \beta x.\] И общее решение примет вид \[{y_{}} = {C_1}{e^{\alpha x}}cos\beta x + {C_2}{e^{\alpha x}}\sin \beta x.\]

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Как было отмечено выше, для решения неоднородного уравнения достаточно знать общее решение однородного уравнения (что просто сделать) и любое частное решение неоднородного. Рассмотрим два особых случая правой части неоднородного уравнения и способы нахождения частных решений.

Первый случай особой правой части – произведение многочлена и показательной функции:

$y'' + py' + qy = {P_n}\left( x \right) \cdot {e^{ax}}$           (3**)

Частное решение в этом случае будем искать в следующем виде: \[{y_ч} = {S_n}\left( x \right){e^{ax}} \cdot {x^r},\] где

${S_n}\left( x \right)$ - многочлен степени $n$ с неопределенными коэффициентами;

${e^{ax}}$ - та же экспонента, что и в правой части уравнения (3**);

${x^r}$ - усиление, параметр $r$ определяется следующим образом:

  • $r = 0$, если $a \ne {k_1},a \ne {k_2}$, т.е. $a$ не является корнем характеристического уравнения;
  •  $r = 1$, если $a = {k_1},a \ne {k_2}$, т.е. число $a$  равно одному из корней;
  •  $r = 2$, если $a = {k_1} = {k_2} = k$, т.е. корни одинаковые и равны $a$.

Рассмотрим второй случай особой правой части:

$y'' + py' + qy = {e^{ax}}\left( {{P_n}\left( x \right) \cdot \cos bx + {Q_m}\left( x \right) \cdot \sin bx} \right)$         (4**)

Частное решение в этом случае будем искать в следующем виде: \[{y_ч}  = {e^{ax}}\left( {{S_l}\left( x \right) \cdot \cos bx + {T_l}\left( x \right) \cdot \sin bx} \right) \cdot {x^r},\] где

${S_l}\left( x \right),{T_l}\left( x \right)$ - многочлены степени $l$ с неопределенными коэффициентами, а $l = \max \left( {n,m} \right)$;

  • $r = 0$, если $a \pm bi \ne {k_{1,2}} = \alpha  \pm \beta i$, т.е. числа $a \pm bi$ не является корнями характеристического уравнения;
  •  $r = 1$, если $a \pm bi = {k_{1,2}} = \alpha  \pm \beta i$, т.е. числа $a \pm bi$  есть корни характеристического уравнения.

Метод суперпозиции решений

Метод суперпозиции ( сложения) решений заключается в следующем: если правая часть линейного неоднородного уравнения (*) представляется в виде суммы двух функций, то и частное решение этого уравнения можно представить в виде суммы функций, то и частное решение этого уравнения можно представить в виде суммы в правой части которого стоит первое слагаемое, а второе – когда второе слагаемое.

Метод вариации постоянных

Рассмотрим общий метод решения неоднородного уравнения

\[y'' + py' + qy = f\left( x \right).\]

Как было показано ранее, общее решение однородного уравнения \[y'' + py' + qy = 0\] можно представить в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений \[{y_{оо}} = {C_1}{y_1} + {C_2}{y_2}.\]Будем искать общее решение неоднородного уравнения в следующем виде:

${y_{он}} = {C_1}\left( x \right){y_1} + {C_2}\left( x \right){y_2}.$          (5**)

В данном случае принимается, что коэффициенты при частных решениях ${y_1}$, ${y_2}$ есть некоторые неизвестные функции, т.е. вместо постоянных величин будем рассматривать переменные или будем варьировать постоянные величины. Определим их, подставляя данную функцию в исходное уравнение. Для этого вычислим производную \[{{y'}_{он}} = {C_1}^\prime \left( x \right){y_1} + {{C'}_2}\left( x \right){y_2} + {C_1}{{y'}_1} + {C_2}{{y'}_2}.\] Представление (5**) достаточно общее, и поэтому можно принять, что сумма первых двух слагаемых в производной равна 0

${C_1}{{y'}_1} + {C_2}{{y'}_2} = 0$              (6**)

Вычислим вторую производную \[{{y''}_{он}} = {C_1}^\prime {{y'}_1} + {{C'}_2}\left( x \right){{y'}_2} + {C_1}{{y''}_1} + {C_2}\left( x \right){{y''}_2}.\]

Подставим вычисленные производные в исходное уравнение

\[{C_1}^\prime {{y'}_1} + {{C'}_2}{{y'}_2} + {C_1}\left( {{{y''}_1} + p{{y'}_1} + q{y_1}} \right) + {C_2}\left( {{{y''}_2} + p{{y'}_2} + q{y_2}} \right) = f\left( x \right).\]

Заметим, что \[\begin{gathered}
  {{y''}_1} + p{{y'}_1} + q{y_1} = 0 \hfill \\
  {{y''}_2} + p{{y'}_2} + q{y_2} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

Учтём, что ${y_1},{y_2}$  являются решениями однородного уравнения. Тогда для определения искомых функций получим систему условий

\[\left\{ \begin{gathered}
  {C_1}^\prime {y_1} + {{C'}_2}\left( x \right){y_2} = 0; \hfill \\
  {C_1}^\prime {{y'}_1} + {{C'}_2}\left( x \right){{y'}_2} = f\left( x \right). \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]

Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно производных искомых функций ${C_1}^\prime ,{{C'}_2}$. Определитель матрицы коэффициентов является определителем Вронского для функций ${y_1},{y_2}$:

\[\vartriangle  = \left| \begin{gathered}
  {y_1},{y_2} \hfill \\
  {{y'}_1},{{y'}_2} \hfill \\
\end{gathered}  \right| = W\left( {{y_1},{y_2}} \right).\]

Т.к. функции ${y_1},{y_2}$, линейно независимы, определитель Вронского не равен нулю, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно получить, например, методом Крамера 

\[\left\{ \begin{gathered}
  {C_1}^\prime  = \frac{{ - f\left( x \right) \cdot {y_2}}}{{{y_1} \cdot {{y'}_2} - {{y'}_1} \cdot {y_2}}} \hfill \\
  {{C'}_2} = \frac{{f\left( x \right) \cdot {y_1}}}{{{y_1} \cdot {{y'}_2} - {{y'}_1} \cdot {y_2}}} \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]

Отсюда

\[\left\{ \begin{gathered}
  {C_1}^\prime  = \int {\frac{{ - f\left( x \right) \cdot {y_2}}}{{{y_1} \cdot {{y'}_2} - {{y'}_1} \cdot {y_2}}}dx + {D_1};}  \hfill \\
  {{C'}_2} = \int {\frac{{f\left( x \right) \cdot {y_1}}}{{{y_1} \cdot {{y'}_2} - {{y'}_1} \cdot {y_2}}}dx + {D_2}.}  \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]

При этом общее решение неоднородного уравнения примет вид

\[{y_{он}} = {y_1}\int {\frac{{ - f\left( x \right) \cdot {y_2}}}{{{y_1} \cdot {{y'}_2} - {{y'}_1} \cdot {y_2}}}} dx + {y_2}\int {\frac{{f\left( x \right) \cdot {y_1}}}{{{y_1} \cdot {{y'}_2} - {{y'}_1} \cdot {y_2}}}dx + {D_1}} {y_1} + {D_2}{y_2}.\]

Отметим, что общее решение неоднородного уравнения представляется (как должно и быть) в виде суммы общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного.