Геомерия

Многогранник

Многогранником называется такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника.

Обозначения:

V - объём

P - площадь полной поверхности

M - площадь боковой поверхности

B - площадь основания

H - высота

Призма

Пизмой называется многогранник, в основаниях которого лежат многоугольники, а боковые грани являются параллелограммами. Основания призмы представляют собой равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

prizma1

$A,B,C,D,E,F,A_1,B_1,C_1,D_1,E_1,F_1$-вершины призмы

$AB,BC,...,EF,FA,A_1B_1,...,F_1A_1$-рёбра основания

$AA_1,BB_1,...,FF_1$-бобоковые рёбра

$ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$-основания призмы

$ABA_1B_1,BCB_1C_1,...,FAF_1A_1$-боковые грани

$d_1,d_2,d_3$-диагонали основания

$D_1,D_2,D_3$-диагонали призмы

$d_n$-диагонали боковых граней

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма является наклонной.

Высота призмы ( Н ) - перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

 

prava i kosa prizma

Прямая призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные многоугольники. В частности, если основания и боковые грани призмы являются квадратами, то такая призма называется кубом.

Пусть $b$ длина бокового ребра, а $s$ - периметр перпендикулярного сечения. Тогда

$M = bs$,

$P = 2B + M$,

$V = BH$.

Параллелепипед

Параллелепипед— это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы.

Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом.

У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. 

Пусть $a$, $b$, $c$ рёбра, а $d$ диагональ прямоугольного параллелепипеда. Тогда

$d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$,

$P = 2\left( {ab + ac + bc} \right)$,

$V = abc.$

 

paralelopiped4

 

 

$B=ab\sin\alpha$ или

$B=2P_{\Delta}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d)}$

где $s=\frac{a+b+d}{2}$, a $d$ - большая или меньшая диагональ основания.

$M=2aH+2bH$

$P=2B+M$

$V=B \cdot H$

 paralelopiped3

$D_1=d_1^2+H^2$        $D_2=d_2+H^2$

$P_{dp_1}=d_1 \cdot H$        $P_{dp_2}=d_2 \cdot H$

 

 

dijagonala bocne strane

$d_n^2=a^2+H^2$ справедливо для диагоналей боковой грани любой призмы.

Куб

Куб или гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат, частный случай параллелепипеда и призмы.

kocka1

$B=a \cdot a=a^2$

$M=4 \cdot a^2$

$P=2B+M \Rightarrow P=2a^2+4a^2=6a^2$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=a^2 \cdot a=a^3$

kocka2

$d^2=a^2+a^2=2a^2 \Rightarrow d=a \sqrt{2}$

$D^2=d^2+a^2=3a^2 \Rightarrow D=a \sqrt{3}$

$P_{dp}=d \cdot a=a^2 \sqrt{2}$

Правильная треугольная призма

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

pravilna trostrana prizma1

$B=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+3aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}H$


Правильная четырёхугольная призма

Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

pravilna cetvorostrana prizma

 

$B=a^2$

$M=4 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2a^2+4aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=a^2H$

pravilna cetvorostrana prizma1

$d^2=a^2+a^2=2a^2 \Rightarrow d=a \sqrt{2}$

$D^2=d^2+H^2$

$P_{dp}=d \cdot H$

Правильная шестиугольная призма

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

pravilna sestostrana prizma

$B=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2 \cdot 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+6aH \Rightarrow P=3a^2 \sqrt{3}+6aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}H$

pravilna sestostrana prizma1

$d_1=2a$  $d_2=2\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$D_1^2=d_1^2+H^2$  $D_2^2=d_2^2+H^2$

$P_{dp_1}=d_1 \cdot H$    $P_{dp_2}=d_2 \cdot H$

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

 

piramida

$A,B,C,D,E,F$ - вершины основания

$S$ - вершина пирамиды

$ABCDEF$ -основание пирамиды

$AB,BC,CD,DE,EF,FA$ -рёбра основания

$SA,SB,SC,SD,SE,SF$ -боковые рёбра

$ABS,BCS,CDS,DES,EFS,FAS$ -боковые грани

$H$ -высота пирамиды

$h$ -висота боковой грани (апотема)

$FDS$ -диагональное сечение

В основании пирамиды $n$-угольник, а боковые грани треугольники.

Пирамида называется правильной, если в ее основании находится правильный многоугольник и вершина проецируется в центр основания.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

prava i kosa piramida

Высота боковой грани (апофема) - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.


$P=B+M \quad V=\frac{B \cdot H}{3}$

 

Правильная треугольная пирамида

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

pravilna trostrana piramida1

$B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3 \cdot \frac{ah}{2}$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$

pravilna trostrana piramida2

Где $\omega$ угол наклона бокового ребра на плоскость основания.

 pravilna trostrana piramida3

Где  $\varphi$ угол наклона боковой грани на плоскость основания.

pravilna trostrana piramida4


Правильная четырёхугольная пирамида

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат.
Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).


pravilna cetvorostrana piramida1

$B=a^2$

$M=4 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=a^2+2ah$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{a^2H}{3}$


pravilna cetvorostrana piramida2

Где $\omega$ угол наклона бокового ребра на плоскость основания.

pravilna cetvorostrana piramida3

Где  $\varphi$ угол наклона боковой грани на плоскость основания.

pravilna cetvorostrana piramida4

Правильная шестиугольная пирамида

Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник.
Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника).


 

pravilna sestostrana piramida1

$B=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=6 \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+6 \cdot \frac{ah}{2}$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}6\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot H$


pravilna sestostrana piramida2

Где $\omega$ - угол наклона бокового ребра на плоскость основания.

pravilna sestostrana piramida3

Где $\varphi$ угол наклона боковой грани на плоскость основания.

pravilna sestostrana piramida4

 

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида− это многогранник, заключенный между основанием пирамиды и сечением, параллельным основанию.


zarubljena piramida

$A,B,C,D,E$ - вершины нижнего основания

$A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ - вершины верхнего основания

$ABCDE$ - нижнее основание

$A_1B_1C_1D_1E_1$ -верхнее основание

$AB,BC,CD,DE,EA$ - рёбра нижнего основания

$A_1B_1,B_1C_1,C_1D_1,D_1E_1,E_1A_1$ - рёбра верхнего основания

$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1,EE_1$ - боковые рёбра

$ABA_1B_1,BCB_1C_1,CDC_1D_1,DED_1E_1,EAE_1A_1$ -боковые грани

$H$ -высота усечённой пирамиды

$h$ -высота боковой грани (апофема)

$ACA_1C_1$ - диагональное сечение

Многоугольники, лежащие в основаниях усеченной пирамиды, подобны друг другу.

Усеченная пирамида является правильной, если она представляет собой часть правильной пирамиды.

Высота усечённой пирамиды - это отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около многоугольников-оснований.

 

$P=B_1+B_2+M \quad V=\frac{H}{3}(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2)$

Правильная треугольная усечённая пирамида 

Правильная треугольная усечённая пирамида - это усечённая пирамида, в основаниях которой подобные правильные треугольники.

pravilna trostrana zarubljena piramida1

$B_1=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$B_2=\frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+\frac{b^2 \sqrt{3}}{4}+3\frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$

pravilna trostrana zarubljena piramida2

Где $\varphi$ угол наклона боковой грани на плоскость основания.

pravilna trostrana zarubljena piramida3

Где $\omega$ угол наклона бокового ребра на плоскость основания.

pravilna trostrana zarubljena piramida4


Правильная четырёхугольная усечённая пирамида

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида - это усечённая пирамида, в основаниях которой подобные квадраты.

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida1

$B_1=a^2$

$B_2=b^2$

$M=4 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=a^2+b^2+4 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida2

Где  $\varphi$ угол наклона боковой грани на плоскость основания. 

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida3

Где $\omega$ угол наклона бокового ребра на плоскость основания.угол наклона боковой грани на плоскость основания.

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida4



Правильная шестиугольная усечённая пирамида

Правильная шустиугольная усечённая пирамида - это усечённая пирамида, в основаниях которой подобные правильные шестиугольники.

 

pravilna sestostrana zarubljena piramida1

$B_1=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$B_2=6 \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=3\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}+3\frac{b^2 \sqrt{3}}{2}+6\frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$


pravilna sestostrana zarubljena piramida2

Где  $\varphi$  угол наклона боковой грани на плоскость основания.

pravilna sestostrana zarubljena piramida3

Где  $\omega$  угол наклона бокового ребра на плоскость основания.

pravilna sestostrana zarubljena piramida4