Геомерия

Многоугольник

Сумма всех углов $n$-угольника равна $\left( {n - 2} \right){180^ \circ }$.

Сумма всех внешних углов $n$-угольника равна ${360^ \circ }$.

Количество диагоналей $n$-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: $\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}$.

mnogougao

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны или углы одинаковые.

Пусть дан правильный многоугольник у которого: $n$ - число сторон, $\varphi  = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n}$ - центральный угол, $\beta  = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n}$ - внешний угол, $\alpha  = {180^ \circ } - \beta $ - внутренний угол, $a$ - длина стороны, $R$ - радиус описанной окружности и $P$ - площадь.

pravilan mnogougao

Основные формулы

$n$ $R = \frac{a}{{2\sin \frac{\pi }{n}}}$ $r = \frac{a}{{tg\frac{\pi }{n}}}$ $P = \frac{{nar}}{2}$
 3  $\frac{a}{3}\sqrt 3 $  $\frac{a}{6}\sqrt 3 $  $\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt 3 $
 4  $\frac{a}{2}\sqrt 2 $  $\frac{a}{2}$  ${a^2}$
 5  $a\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} $  $a\sqrt {\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} $  $\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } $
 6  $a$  $\frac{a}{2}\sqrt 3 $  $\frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3 $
 8  $a\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} $  $\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$  $2{a^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$
 10  $\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$  $\frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } $  $\frac{5}{2}{a^2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } $

 

$a = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}  = 2R\sin \frac{\alpha }{2} = 2r{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2}$

$P = \frac{{nar}}{2} = n{r^2}{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{n{R^2}\sin \alpha }}{2} = \frac{{n{a^2}{\rm{ctg}}\frac{\alpha }{2}}}{4}$