Геомерия

Тела вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости

Сфера - это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы). 

Шар - это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара.

lopta1

Пусть $R$ радиус сферы. Тогда площадь поверхности сферы $P$ и объём шара, ограниченного этой сферой $V$ вычисляются по формулам:

$$P = 4{R^2}\pi ,{\rm{   }}$$ $$  V = \frac{{4{R^3}\pi }}{3}.$$

Сегментная поверхность

Часть сферы, отделяемая от нее секущей плоскостью, называется сегментной поверхностью.

lopta

Площадь сегментной поверхности

\[{S_{сегм}} = \pi \left( {{h^2} + {r^2}} \right)\]

Шаровой сегмент

Часть шара отделяемая от него секущей плоскостью, называется шаровым сегментом.
Отрезок радиуса, перпендикулярного к секущей плоскости, заключенный между этой плоскостью и сегментной поверхностью, называется высотой этой поверхности и шарового сегмента.

lopta2

Площадь полной поверхности шарового сегмента

\[{S} = {S_{осн}} + {S_{сегм}} = \pi \left( {{h^2} + 2{r^2}} \right) = \pi \left( {2Rh + {r^2}} \right)\]

Объем шарового сегмента  

\[V = \frac{{\pi {h^2}\left( {3R - h} \right)}}{6} = \frac{{\pi h\left( {3{r^2} + {h^2}} \right)}}{6}\]

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше полушара.

loptin isecak

 

Поверхность шарового сектора складывается из кривых поверхностей шарового сегмента и конуса.

${S_{сектора}} = {S_{сегмента}} + {\operatorname{S} _{конуса}} $

${S_{сектора}} = 2\pi R{h} + \pi Rr$

${S_{сектора}} = \pi R\left( {2\left( {R - \sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right) + r} \right)$

 

Объем шарового сектора равен объёму пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара.

\[V = \frac{{2\pi {R^2}h}}{3}\]

Шаровой слой.

Часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым слоем.
Отрезок перпендикуляра, заключенный между параллельными секущими плоскостями, называется высотой шарового слоя и шарового пояса.

loptin sloj

Площадь внешней поверхности шарового слоя

\[{S_{ct}} = 2\pi Rh\]

где $h$ − высота шарового слоя, $R$ − радиус шара.

Площадь полной поверхности шарового слоя

\[S = {S_{сл}} + {S_1} + {S_2} = \pi \left( {2Rh + r_1^2 + r_2^2} \right)\]

где $h$ − высота шарового слоя, $R$ − радиус шара, ${r_1^2,r_2^2}$ - радиусы оснований шарового слоя, а ${S_1},{S_2}$ - площади этих оснований.

Объём шарового слоя

\[V = \frac{{\pi h\left( {3r_1^2 + 3r_2^2 + {h^2}} \right)}}{6}\]

где ${r_1^2,r_2^2}$ − радиусы оснований шарового слоя, $h$ − его высота.

Прямой круговой цилиндр

Цилиндр - это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью  и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой, которая называется напрвляющей. Указанная прямая является образующей цилиндрической поверхности.

Цилиндр называется круговым, если его направляющая является окружностью.

Цилиндр называется прямым, если его образующая перпендикулярна основаниям.

Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания $R$ и образующей $L$, которая равна высоте цилиндра $H$.

prav i kosi valjak

 

Пусть площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра $M$, площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра $P$, объём прямого кругового цилиндра $V$:

mreza valjka

$$ M = 2r\pi H,{\rm{   }}$$ 

$$ P = 2r\pi \left( {r + H} \right),{\rm{   }}$$ 

$$ V = {r^2}\pi H.$$

Конус

Конус или коническая поверхность представляет собой пространственную фигуру, образованную движением прямой, проходящей через некоторую определенную точку (вершину конуса) и пересекающую заданную линию, которая называется направляющей конуса. Указанная прямая называется образующей.

Часто конусом называется пространственная фигура, ограниченная внутренней частью плоскости, пересекающей коническую поверхность, и частью конической поверхности, заключенной между вершиной и границей пересечения. Часть указанной плоскости, лежащая внутри конической поверхности, называется основанием конуса, а часть конической поверхности − боковой поверхностью.

Конус называется круговым, если в его основании лежит круг.

Конус является прямым, если его вершина проецируется в центр основания.

Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

prava kosa kupa

 Прямой круговой конус образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета. Прямой круговой конус определяется радиусом основания $r$ и высотой $H$ (или радиусом основания $r$ и образующей $s$).

prava kupa

Пусть $s$ - образующая конуса. Тогда площадь боковой поверхности прямого кругового конуса $M$, площадь полной поверхности прямого кругового конуса $P$ и объём кругового конуса $V$:

$$M = \pi rs = \pi r\sqrt {{r^2} + {H^2}}$$

$$P = r\pi \left( {r + s} \right),{\rm{   }}$$ 

$$V = \frac{1}{3}{r^2}\pi H.$$

mreza kupe

 

Прямой усечённый конус

Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

zarubljena kupa

Усечённый конус - тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокркг своей боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям.

zarubljena kupa1

mreza zarubljene kupe

Площадь боковой поверхности усечённого конуса $M$, площадь полной поверхности усечённого конуса $P$ и объём усечённого конуса $V$:

$B_1=r_1^2\pi$

$B_2=r_2^2\pi$

$M=s\pi(r_1+r_2)$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=r_1^2\pi+r_2^2\pi+s\pi(r_1+r_2)=\pi(r_1^2+r_2^2+s(r_1+r_2))$

$V=\frac{H}{3}(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2) \Rightarrow V=\frac{H\pi}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$

Осни пресек зарубљене купе:

osni presek zarubljene kupe1

$P_{op}=\frac{2r_1+2r_2}{2} \cdot H=(r_1+r_2)H$

osni presek zarubljene kupe2

$s^2=H^2+(r_1-r_2)^2$

Шар и многогранники

Призма вписанная в шар

Призма вписана в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара (на сфере). В этом случае также говорят, что шар описан около призмы (или сфера описана около призмы).

Призма может быть вписана в шар тогда и только тогда, когда

1) призма  прямая;

2) около ее основания можно описать окружность.


-Правильная треугольная призма вписана в шар:

lopta oko prizme

в основании равносторонний треугольник: $r_o=\frac{2}{3}h_a=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

jst trougao

-Правильная четырёхугольная призма вписана в шар:

в основании квадрат: $r_o=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

kvadrat2

-Правильная шестиугольная призма вписана в шар

в основании правильный шестиугольник: $r_o=a$

pravilan sestougao1

-Треугольная призма, у которой в основании произвольный треугольник вписана в шар:

в основании произвольный треугольник: $P_{\Delta}=... \quad P_{\Delta}=\frac{abc}{4r_o}$

proizvoljan trougao


Пирамида вписана в шар

Если пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности этого шара (на сфере), соответственно, расстояния от центра шара до вершин равны радиусу шара.

Каждая грань вписанной в шар пирамиды является вписанным в некоторую окружность многоугольником. Основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на плоскости граней, являются центрами этих описанных окружностей. Таким образом, центр описанного около пирамиды шара — точка пересечения перпендикуляров к граням пирамиды, проведенных через центры описанных около граней окружностей.

Чаще центр описанного около пирамиды шара рассматривают как точку пересечения перпендикуляра, проведенного к основанию через центр описанной около основания окружности, и серединного перпендикуляра к боковому ребру (серединный перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через это боковое ребро и первый перпендикуляр (проведенный к основанию). Если около основания пирамиды нельзя описать окружность, то эта пирамида не может быть вписана в шар. Отсюда следует, что около треугольной пирамиды всегда можно описать шар, а вписанная в шар четырехугольная пирамида в основании имеет прямоугольник или квадрат.

Центр описанного около пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, на поверхности пирамиды (на боковой грани, на основании), и вне пирамиды. Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Около любой правильной пирамиды можно описать шар. Его центр — точка пересечения прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.


 

-Правильная четырёхугольная пирамида вписанная в шар:

lopta oko piramide

$r_o$- радиус окружности, описанной около основанияполупречник кружнице описане око основе

Шар, вписанный в призму

Шар вписанный в призму, касается каждой ее грани. Диаметр вписанного шара равен высоте призмы, а также равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы.


-Шар, вписан в призму, в основании которой произвольный треугольник

lopta u prizmi

в основании произвольный треугольник: $P_{\Delta}=... \quad \quad P_{\Delta}=r_u\cdot s$ где $s=\frac{a+b+c}{2}$

raznostranican trougao

-Шар, вписан в призму, в основании которой правильный треугольник
в основании правильный треугольник: $r_u=\frac{1}{3}h_a=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

jst trougao1

-Шар, вписан в призму, в основании которой квадрат

в основании квадрат: $r_u=\frac{a}{2}$

kvadrat3

-Шар, вписан в призму, в основании которой правильный шестиугольник

в основании правильный шестиугольник: $r_u=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

pravilan sestougao2

 

 

Шар, вписанный в пирамиду

Шар вписан в пирамиду — значит, шар касается каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).

-Шар, вписанный в правильную четырёхугольную пирамиду:

lopta u piramidi

lopta u piramidi1

 

Правильный многогранник

Многогранник называется правильным, если его грани одинаковые правильные многоугольники. 

Существует пять различных многогранников.

Обозначения

Пусть $a$ длина ребра, $d$ число рёбер, выходящих из одной вершины, $k$ число сторон многоугольников, образующие грани многогранника, $s$ количество граней многогранника, $t$ число вершин, а $i$ общее число рёбер.

Эйлерова характеристика

$$s + t - i = 2$$

Справедливо и 

$$ks = dt = 2i.$$

 

Название число граней вид грани
тетраэдр 4 равносторонний треугольник
куб 6 квадрат
октаэдр 8 равносторонний треугольник
додекаэдр 12 правильный пятиугольник
икосаэдр 20 равносторонний треугольник
с радиус описанной сферы радиус вписанной сферы
4 $\frac{a}{4}\sqrt 6 $ $\frac{a}{{12}}\sqrt 6 $
6 $\frac{a}{2}\sqrt 3 $ $\frac{a}{2}$
8 $\frac{a}{2}\sqrt 2 $ $\frac{a}{6}\sqrt 6 $
12 $\frac{a}{4}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\sqrt 3 $ $\frac{a}{4}\sqrt {10 + \frac{{22}}{{\sqrt 5 }}} $
 20 $\frac{a}{4}\sqrt {2\left( {5 + \sqrt 5 } \right)} $  $\frac{a}{{4\sqrt 3 }}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)$

 

с площадь объём
4 ${a^2}\sqrt 3 $ $\frac{{{a^3}}}{{12}}\sqrt 2 $
6 $6{a^2}$ ${a^3}$
8 $2{a^2}\sqrt 3$ $\frac{{{a^3}}}{3}\sqrt 2 $
12 $3{a^2}\sqrt {25 + 10\sqrt 5 }$ $\frac{{{a^3}}}{4}\left( {15 + 7\sqrt 5 } \right)$
 20 $5{a^2}\sqrt 3 $ $\frac{5}{{12}}{a^3}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)$

SLIKA