Интегральное исчисление

Неопределённый интеграл

Определение первообразной

Первообразной функции $f$ на промежутке $I$ называется такая функция $F$, что выполняется равенство $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ для любого $x \in I$.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы $C$ равна нулю, то справедливо равенство ${\left( {F\left( x \right) + C} \right)^\prime } = f\left( x \right)$. Таким образом, функция $f$ имеет множество первообразных ${F\left( x \right) + C}$, для произвольной константы $C$, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Неопределённый интеграл

Всё множество первообразных функции $f$ называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

\[\int {f\left( x \right)dx = } F\left( x \right) + C\].

 

Таблица основных неопределённых интегралов

$\int {dx{\text{           =  }}x + C} $

$\int {{x^n}dx{\text{       =  }}\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} $, $n \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$, ${\text{ }}x \ne 0$ ако је $n < 0$

$\int {{x^\alpha }dx{\text{       =  }}\frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{n + 1}} + C,{\text{  }}\alpha  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\},{\text{  }}x > 0} $

$\int {\sin xdx{\text{    =  }} - \cos x + C} $

$\int {\cos xdx{\text{   =  }}\sin x + C} $

$\int {tgxdx{\text{      =  }} - In|\cos x| + C,{\text{  }}x \ne \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}} $

$\int {ctgxdx{\text{      =  }}} In|\sin x| = C,{\text{  }}x \ne 2k\pi $

$\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}{\text{     =  }}tgx + C,{\text{  }}x \ne \left( {2k\pi  + 1} \right)\frac{\pi }{2}} $

$\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}\pi }}{\text{     =  }} - ctgx + C,{\text{   }}x \ne 2k\pi } $

$\int {\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}{\text{    =  }}\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} + C,{\text{  }}a \ne 0} $

$\int {\frac{{dx}}{{{a^2} - {x^2}}}{\text{   =  }}\frac{1}{{2n}}In\left| {\frac{{a + x}}{{a - x}}} \right|}  + C,{\text{  }}a \ne 0,{\text{  }}\left| x \right| \ne a$

$\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}{\text{   =  }}\frac{1}{{2a}}In\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C,{\text{  }}a \ne 0,{\text{  }}\left| x \right| \ne a} $

$\int {\frac{{dx}}{x}{\text{          =  }}Inx + C} $

$\int {{e^x}dx{\text{        =  }}{e^2} + C} $

$\int {{a^x}dx} {\text{        =  }}\frac{{{a^x}}}{{Ina}} + C,{\text{  }}a > ,{\text{ }}a \ne 1$

$\int {{\text{sh}}xdx{\text{        =  ch}}x + C} $

$\int {{\text{ch}}xdx{\text{        =  ch}}x + C} $

$\int {{\text{th}}xdx{\text{        =  lnch}}x + C} $

$\int {{\text{sh}}xdx{\text{        =  ln}}\left| {{\text{sh}}x} \right| + C} ,x \ne 0$

$\int {\frac{{dx}}{{c{h^2}x}}{\text{        =  th}}x + C} $

$\int {\frac{{dx}}{{c{h^2}x}}{\text{        =   - cth}}x + C} ,x \ne 0$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\text{        =  arcsin}}\frac{x}{a} + C} ,\left| x \right| < a$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{\text{        =  ln}}\left( {x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right) + C} ,$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\text{        =  ln}}\left| {x + \sqrt {{x^2} - {a^2}} } \right| + C} ,\left| {x > a} \right|$

 

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция $F$ – какая- либо первообразная от непрерывной функции $f$ на интервале $\left[ {a,b} \right]$, то

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Свойства неопределённого интеграла

  1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

    \[\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } } \]

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
     
    \[\int {Cf\left( x \right)dx = C\int {f\left( x \right)dx.} } \]
     
  3. Если функция $F$ является первообразной для функции $f$ на интервале $D$, то функция $\frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right)$ является первообразной для функции $f\left( {ax + b} \right)$, то есть, если $\int {f\left( x \right)dx = } F\left( x \right) + C$, то \[\int {f\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C}.\]

Интегрирование по частям в неопределённом интеграле

Для дифференцируемых функций $u\left( x \right)$ и $v\left( x \right)$ имеет место соотношение

\[\int {f\left( x \right)} dx = \int {u\left( x \right)} d\left( {v\left( x \right)} \right) = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)} d\left( {u\left( x \right)} \right)\]

или

$\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)dx.} $

 

Замена переменной в неопределённом интеграле

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$, функция $z = g\left( x \right)$ дифференцируема на интервале $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ и пусть $\alpha  \leqslant g\left( x \right) \leqslant \beta $. Тогда

$\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)dx = \int {f\left( z \right)dz.} } $

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть функция $f$ определена и непрерывна на отрезке $\left[ {a ,b } \right]$. Множество $\left[ {a ,b } \right]$ является областью значений некоторой функции $x = g\left( z \right)$, которая определена на интервале $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ и имеет на нем непрерывную производную, причем $g\left( \alpha  \right) = a$ и $g\left( \beta  \right) = b$, тогда

\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_\alpha ^\beta  {f\left( {g\left( z \right)} \right)}  \cdot g'\left( z \right)dz\]