Исследование функции и построение графика

Показательная и логарифмическая функции

Показательной функцией называется функция вида: $y = f\left( x \right) = {a^x},{\text{ }}a > 0,{\text{ }}a \ne 0$

Свойство показательной функции

$f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{x_1} + {x_2}} \right).$

Функция, обратная к показательной функции $y = f\left( x \right) = {a^x},{\text{ }}{\text{ }}a \ne 0$ называется логарифмической функцией по основанию $\alpha $ и обозначается $y = {\log _\alpha }x$.

Если вместо $\alpha $ возьмём число $e$,

$e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}.$

получим экспоненциальную функцию $y = {e^x}$.

 

$\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^x}} \\
{a > 1}
\end{array}$

$\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^x}} \\
{a \in \left( {0,1} \right)}
\end{array}$

$\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\log }_a}x} \\
{a > 1}
\end{array}$

$\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\log }_a}x} \\
{a \in \left( {0,1} \right)}
\end{array}$

Область определения функции  $\mathbb{R}$  $\mathbb{R}$  $\left( {0,\infty } \right)$  $\left( {0,\infty } \right)$
Область значения функции  $\left( {0,\infty } \right)$  $\left( {0,\infty } \right)$  $\mathbb{R}$  $\mathbb{R}$
 Монотонность  растёт убывает  растёт  убывает
 Нули функции  -  -  $1$  $1$
Точки пересечения с осью $Oy$  $1$  $1$  -  -
 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)$  $\infty $  $0$  $\infty $  $-\infty $
 $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right)$  $0$  $\infty $  -  -