Исследование функции и построение графика

Примеры исследования функций

Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.

  1. Нахождения области определения функции.
  2. Нахождения области значений функции.
  3. Исследования функции на четность или нечетность и периодичность.
  4. Нахождения асимптот.
  5. Нахождения нулей функции.
  6. Знака,
  7. Нахождения промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
  8. Нахождения промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика. 

 

Пример 1 

$y = f\left( x \right) =  - 12{x^5} + 25{x^3} - 15x$

  1. $D\left( f \right) = \mathbb{R}$.
  2. $f\left( { - x} \right) =  - 12{\left( { - x} \right)^5} + 25{\left( { - x} \right)^3} - 15\left( { - x} \right)$ $=$ $12{x^5} - 25{x^3} + 15x =  - f\left( x \right)$  - функция нечётная, её график семметричен относительно начала координат.
  3. $f\left( x \right) =  - x\left( {12{x^4} - 25{x^2} + 15} \right)$,  $y = 0$ когда $x = 0$ или $12{x^4} - 25{x^2} + 15 = 0$.  Второе уравнение не имеет действительных корней, тогда функция имеет только один ноль: $x = 0$. Значит график функции пересекает ось $Ox$ в точке $\left( {0,0} \right)$.
  4. Так как $12{x^4} - 25{x^2} + 15 > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, тогда $y > 0$ для $x < 0$ и $y < 0$ для $x > 0$.

    $x$ $\left( { - \infty ,0} \right)$ $0$ $\left( {0, + \infty } \right)$
    $y$ $+$ $0$ $-$
     
  5. $y` =  - 60{x^4} + 75{x^2} - 15$. $y` = 0$ за $ - 60{x^4} + 75{x^2} - 15 = 0$, т.е. $ - 4{x^4} + 5{x^2} - 1 = 0$. 
    Тогда

    ${x_1} =  - 1$ , ${x_2} =  - \frac{1}{2}$, ${x_3} =  - \frac{1}{2}$, ${x_4} = 1$

    $x$ $\left( { - \infty , - 1} \right)$ $ - 1$ $\left( { - 1, - \frac{1}{2}} \right)$ $ - \frac{1}{2}$ $\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$
    $y`$ - $0$ + $0$ -
    $y$ $ \searrow $ 2 $ \nearrow $ $\frac{{19}}{4}$ $ \searrow $
    вывод   $min$   $max$  

    $x$ $\frac{1}{2}$ $\left( {\frac{1}{2},1} \right)$ $1$ $\left( {1, + \infty } \right)$
    $y`$ $0$ $+$ $0$ $-$
    $y$ $ - \frac{{19}}{4}$ $ \nearrow $ $-2$ $ \searrow $
    вывод $min$   $max$  
  6. $y`` =  - 240{x^3} + 150x$. $y`` = 0$ за $x\left( { - 8{x^2} + 5} \right) = 0$ , тј. ${x_1} =  - \frac{{\sqrt {10} }}{4}$, ${x_2} = 0$, ${x_3} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}$.

    $x$ $\left( { - \infty ,\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)$ $ - \frac{{\sqrt {10} }}{4}$ $\left( { - \frac{{\sqrt {10} }}{4},0} \right)$ $0$
    $y`$ $+$ $0$ $-$ $0$
    $y$ $ \cup $ $\frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$ $ \cap $ $0$
    вывод   т. перегиба     
     
    $x$ $\left( {0,\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)$ $\frac{{\sqrt {10} }}{4}$ $\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}, + \infty } \right)$
    $y``$  $+$ $0$  $-$ 
    $y$ $ \cup $ $ - \frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$  $ \cap $
    вывод   т. перегиба  
     

ispitivanje funkcija primer 1

 

Пример 2

$y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}$

  1. $D\left( f \right) = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
  2. Функция ни чётная  ни нечётная
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1 - 0} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} =  - \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1 + 0} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} =  + \infty $, прямая $x =  - 1$ вертикальная асимптота.

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} + x}} = 1\left( { = a} \right),$

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 2 - {x^2} - x}}{{x + 1}}$ $ = 1\left( { = a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ - 4x + 2}}{{x + 1}}$ $ =  - 4\left( { = b} \right)$

    прямая $y = x - 4$  - наклонная асимптота.
  4. $y = 0$ за  ${x^2} - 3x + 2 = 0$, тј. за ${x_1} = 1$, ${x_2} = 2$ 
  5. $x$ $x \in \left( { - \infty , - 1} \right)$ $x \in \left( { - 1,1} \right)$ $x = 1$ $x \in \left( {1,2} \right)$ $x = 2$ $x \in \left( {2, + \infty } \right)$
    $y$ $-$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

  6. $y` = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{{x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

    $y` = 0$ за ${x^2} - 2x - 5 = 0$, тј. за ${x_1} =  - 1 - \sqrt 6 ,{x_2} =  - 1 + \sqrt 6 $

    $x$ $x \in \left( { - \infty , - 1 - \sqrt 6 } \right)$ $x =  - 1 - \sqrt 6 $ $x \in \left( { - 1 - \sqrt 6 , - 1} \right)$
    $y`$ $+$ $0$ $-$
    $y$ $ \nearrow $ $y \approx  - 10$ $ \searrow $
    вывод   $\max $  

    $x$ $x \in \left( { - 1, - 1 + \sqrt 6 } \right)$ $x =  - 1 + \sqrt 6 $ $x \in \left( { - 1 + \sqrt 6 , + \infty } \right)$
    $y`$ $-$ $0$ $+$
    $y$ $ \searrow $ $y \approx  - 0,1$ $ \nearrow $
    вывод   $\min $  

  7. $y`` = \frac{{\left( {2x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {{x^2} + 2x - 5} \right) \cdot 2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}$

    $ = \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$ $ = \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1 - {x^2} - 2x + 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$ $ = \frac{{12}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$.

    Точек перегиба нет.

    $x$ $x \in \left( { - \infty , - 1} \right)$ $x \in \left( { - 1, - \infty } \right)$
    $y``$ $-$ $+$
    $y$ $ \cap $ $ \cup $

 

ispitivanje funkcija primer 2

 

Пример 3

$y = \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$

  1. $D = \left\{ {x|\frac{{2x - 1}}{{x + 2}} > 0} \right\}$ $ = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$
  2. Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодеская.
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \ln 2$, прямая $y = \ln 2$ - горизонтальная асимтота.

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2 - 0} \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \infty$, прямая  $x =  - 2$ - вертикальная асимптота.

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2} + 0} \ln \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty$, прямая $x = \frac{1}{2}$ - тоже вертикальная асимптота.
  4. $y = 0$ для  $\frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 1$,  т.е. для $x = 3$.
  5. $y > 0$ для  $\frac{{2x - 1}}{{x + 2}} > 1$, а $y < 0$ за $0 < \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} < 1$.

    $x$ $x \in \left( { - \infty , - 2} \right)$ $x \in \left( {\frac{1}{2},3} \right)$ $x = 3$ $x \in \left( {3, + \infty } \right)$
    $y$ $+$  $-$  $0$  $+$ 
     
  6. $y` = \frac{{x + 2}}{{2x - 1}} \cdot \frac{{2\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$ $ = \frac{5}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0$, $x \in D$
    Функция не имеет точек экстремума и на всей области определения функции монотонно растёт.

  7. $y`` =  - 5\frac{{4x + 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
    Точка $x =  - \frac{3}{4}$ (для которой $y`` = 0$) не принадлежит области определения функции, и функция не имеет точек перегиба.
    $x$ $x \in \left( { - \infty ,\frac{1}{2}} \right)$ $x \in \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$
    $y``$ $+$ $-$
    $y$ $ \cup $ $ \cap $

ispitivanje funkcija primer 3

 

Пример 4

$y = {e^{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}}$

  1. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
  2. Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодеская.
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {e^{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}} = {e^1} = e$, прямая $y = e$ - горизонтальная асимтота.

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + 0} {e^{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}} =  + \infty$, прямая $x = 1$ - вертикальная асимптота.

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - 0} {e^{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}} = 0.$
  4. Функция не имеет нулей. 
  5. Функция положительна на всей бласти определения.

    $y` = {e^{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}} \cdot \frac{{x - 1 - \left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $ = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{e^{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}} < 0$, 

    функция не имеет экстремумов и монотонно убывает.
  6. -

  7. $y`` = \frac{{6x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{e^{\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}},y`` = 0$ за  $x = \frac{1}{2}$. 

    $x$ $x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)$ $x =  - \frac{1}{2}$ $x \in \left( { - \frac{1}{2},1} \right)$ $x \in \left( {1, + \infty ,} \right)$
    $y``$ $-$ $0$ $+$ $+$
    $y$ $ \cap $ $\frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$ $ \cup $ $ \cup $
    вывод   т. перегиба    
     

ispitivanje funkcija primer 4