Исследование функции и построение графика

Степенная функция

Линейная функция

Функция вида:

$y = ax + b,{\text{   }}a \ne 0$

называется линейной функцией.

  1. Область определения функции: $\mathbb{R}$.
  2. Чётность функции: Если $b = 0$, то функция нечётная.
  3. Нули функции: $x =  - \frac{b}{a}$.
  4. При $a > 0$: функция принимает отрицательные значения на промежутке $\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)$ и положительные значения на промежутке $\left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)$.
  5. Функция монотонно возрастает на области определения при $a > 0$, монотонно убывает при $a < 0$.

 

Квадратная функция

Функция вида:

$y = a{x^2} + bx + c,{\text{   }}a \ne 0$

называется квадратичной (квадратной) функцией.

  1. Область определения функции: $\mathbb{R}$
  2. Чётность функции: Если $b = 0$, то функция чётная. В общем случае функция не является ни четной, ни нечетной.
  3. Нули функции:

    Обращение в нуль квадратичной функции зависит от дискриминанта $D = {b^2} - 4ac$ квадратного трехчлена $a{x^2} + bx + c.$

    Если $D > 0$, то квадратичная функция обращается в нуль в двух точках ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$.

    Если $D < 0$, то квадратичная функция в нуль не обращается.

    Если $D = 0$, то квадратичная функция обращается в нуль в одной точке $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$.

  4. Знак функции: Если функция имеет два нуля, то она меняет знак, в противном случае - знак функции не меняется.
  5. Экстремумы функции:  Для $a > 0$ функция имеет минимум, а для $a < 0$ максимум. Значение функции в точках экстремума: $y = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}$ достигается при $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$.
  6. Интервалы монотонности: $\left( { - \infty , - \frac{b}{{2a}}} \right)$ и $\left( { - \frac{b}{{2a}},\infty } \right)$.
    Если $a < 0$, тогда на первом интервале функция строго возрастающая, а на втором строго убывающая. Если $a > 0$, то справедливо обратное.
  7. Выпуклость: Если $a > 0$, то функция выпуклая, если $a < 0$, то функция вогнутая на всей области определения.

 

Степенная функция

Функция вида:

$y = {x^\alpha },{\text{   }}\alpha  \in \mathbb{R}$

называется степенной функцией.

Случай $\alpha  = n,{\text{  }}n \in \mathbb{N}$:

  1. Область определения функции: $\mathbb{R}$.
  2. Чётность функции: Если $n$ - чётное число, то функция чётная, а если $n$ нечётноечисло, то функция нечётная.
  3. Нули функции: $x = 0$.
  4. Знак функции: Если $n$ - чётное число, то функциия положительна на множестве $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Если $n$ - нечётное число, то функция положительна для $x > 0$, и отрицательна для $x < 0$.
  5. Экстремумы функции: Если $n$ - чётное число, то функция имеет минимум в тачке $0$.
  6. Интервалы монотонности: Если $n$ чётное число, то функция убывает для $x < 0$ и возрастает для $x > 0$. Если $n$ - нечётное число, то функция возрастает на всей области определения.
  7. Выпуклость: Если $n$ - чётное число, то  функция выпуклая на всей области определения. Если $n$ - нечётное число, то  функция вогнутая для $x < 0$ и выпуклая для $x > 0$.

 

Случай $\alpha  =  - n,{\text{  }}n \in \mathbb{N}$

  1. Область определения функции: $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
  2. Чётность функции: Если $n$ чётное число, то функция чётная, если $n$ нечётное число, то функция нечётная.
  3. Нули функции: Нет
  4. Знак функции: Если $n$ чётное число, то функция чётная на множестве $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Если $n$ нечётное число, то функция положительна для $x > 0$, и отрицательна для $x < 0$.
  5. Экстремумы функции: Нет.
  6. Интервалы монотонности: Если $n$ - чётное число, то функция растёт при $x < 0$ и убывает при $x > 0$. Если $n$ нечётное, то функция убывает на всей области определения.
  7. Выпуклость: Если $n$ - нечётное число, функция вогнутая для $x > 0$.
  8. Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y = 0$, и вертикальная асимптота $x = 0$.