Линейная алгебра

Алгебраические структуры

$n$- арная операция на непустом множестве $S$ - это отображение: ${S^n} \to S.$.

Для $n = 1$ операция унарная, для $n = 2$ - бинарная.

Если бинарную операцию на множестве $S$ обозначить за $*$, тогда для $a,b,c \in S$ вместо $\left( {a,b} \right)\xrightarrow{ * }c$ записываем $a * b = c$.

Алгебраическая система (или алгебраическая структура) - это множество $S$ с заданным на нём набором операций и отношений, удовлетворяющим некоторой системе аксиом.

Пусть $S$ непустое множество, $ * $ и $ \circ $ - заданные на нём бинарные (унарные) операции и $\Omega $ - мнжество всех операций на множестве $S$. Упорядоченная пара $\left( {S,\Omega } \right)$ - алгебраическая система.

Основные классы алгебраических систем

Группоид 

Упорядоченная пара $\left( {S, * } \right)$ называется группоид если:

$\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = c \in S} \right)$

Полугруппа - группоид, в котором умножение ассоциативно.

Упорядоченная пара $\left( {S, * } \right)$ - полугруппа, если:

  1. $\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = c \in S} \right)$
  2. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {\left( {a * b} \right) * c = a * \left( {b * c} \right)} \right)$.

 

Группа

Упорядоченная пара $\left( {S, * } \right)$ - группа, если:

  1. $\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = c \in S} \right)$
  2. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {\left( {a * b} \right) * c = a * \left( {b * c} \right)} \right).$
  3. $\left( {\exists e \in S} \right)\left( {\forall a \in S} \right)\left( {a * e = e * a = a} \right),$ ($e$ - нейтральный элементотносительно операции $ * $)
  4. $\left( {\forall a \in S} \right)\left( {\exists {a^{ - 1}} \in S} \right)\left( {a * {a^{ - 1}} = {a^{ - 1}} * a = e} \right),$ (у каждого элемета существует обратный). 

Абелева группа группа, в которой операция коммутативна.

$\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = b * a} \right),$.

 

Кольцо

Упорядоченная тройка $\left( {S, * , \circ } \right)$ - кольцо, если:

  1. $\left( {S, * ,} \right)$ - коммутативная группа,
  2. $\left( {S, \circ } \right)$ - полугруппа,
  3. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {a \circ \left( {b * c} \right) = \left( {a \circ b} \right) * \left( {a \circ c} \right)} \right).$

 

Поле

Упорядоченная тройка $\left( {S, * , \circ } \right)$ - поле, если:

  1. $\left( {S, *} \right)$ је коммутативная группа,
  2. $\left( {S\backslash \left\{ 0 \right\}, \circ } \right)$ коммутативная группа ($0$ - нейтральный элемент на множестве $S$ относительно операции $*$)
  3. $\left( {\forall a,b,c \in \left. S \right)\left( {a \circ \left( {b * \left. c \right) = \left( {a \circ \left. b \right) * \left( {a \circ \left. c \right)} \right.} \right.} \right.} \right.} \right).$


Булева алгебра

Упорядоченная четвёрка $\left( {S, * , \circ ,'} \right)$ - булева алгебра, если:

  1. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {a * \left( {b * c} \right.} \right) = \left( {a * b} \right) * c$ и $a \circ \left( {b \circ c} \right) = \left( {a\left. { \circ b} \right) \circ c} \right),$
  2. $\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = b * a} \right.$ и $a \circ b = b \circ \left. a \right),$
  3. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {a \circ \left( {b * c} \right) = \left( {a \circ b} \right) * \left( {a \circ c} \right)} \right.$ и \[a * \left( {b \circ c} \right) = \left( {a * b} \right) \circ \left( {a * \left. c \right)\left. {} \right),} \right.\]
  4. $\left( {\exists 0 \in S} \right)\left( {\exists 1 \in S} \right)\left( {\forall a \in S} \right)\left( {a * 0 = 0 * a = 0} \right.$ и $a \circ 1 = 1 \circ a = \left. a \right),$
  5. \[\left( {\forall a \in S} \right)\left( {a * a' = 1} \right.\] и $a \circ a' = \left. 0 \right).$

 

Векторное пространство

Линейное (векторное) пространство $V$ над полем ${\rm K}$ - это упорядоченная четвёрка $\left( {V,{\rm K}, + , \cdot } \right)$

  • $V$ - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
  • ${\rm K}$ - (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;
  • Определена операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов $a$, $b$ множества $V$ единственный элемент множества $V$, называемый их суммой и обозначаемый $a + b$;
  • Определена операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу $x$ поля ${\rm K}$ и каждому элементу $a$ множества $V$ единственный элемент множества $V$, обозначаемый $xa$;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

  1. $\left( {\forall a,b \in V} \right)\left( {a + b = b + a } \right)$,
  2. $\left( {\forall a,b,c \in V} \right)\left( {a +( b+c) = (a + b) +c } \right)$,
  3. $\left( {\exists 0 \in V}  \right)\left( {\forall a \in V} \right)\left( {a + 0 = 0 + a = a} \right)$,
  4. $\left( {\exists {-a} \in V} \right)\left( {\forall a \in V} \right)\left( {a +(-a) = 0 } \right.$,
  5. $\left( {\forall x \in {\rm K}} \right)\left( {\forall a,b \in V} \right){\text{   }}\left( {x\left( {a + b} \right) = xa + x\left. b \right),} \right.$
  6. $\left( {\forall x,y \in {\rm K}} \right)\left( {\forall a \in V} \right){\text{   }}\left( {\left( {x + y} \right) \cdot a = xa + ya} \right),$
  7. $\left( {\forall x,y \in {\rm K}} \right)\left( {\forall a \in V} \right){\text{   }}\left( {x\left( {ya} \right) = \left( {xy} \right)a} \right),$
  8. $\left( {\forall a \in V} \right){\text{                      }}\left( {1 \cdot a = a} \right)$.

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве $V$ структуру абелевой группы.

Линейные комбинации

Конечная сумма вида: ${{x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {x_n}{a_n}}$ называется линейной комбинацией элементов $\left\{ {{a_1},{a_2},....,{a_n}} \right\}$ из $V$ с коэффициентами $\left\{ {{x_1},{x_2},....,{x_n}} \right\}$ из ${\rm K}$.

$\left( {\forall a \in V} \right)\left( {\exists {x_1},{x_2},....,{x_n} \in {\rm K}} \right)\left( {a = {x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {x_n}{a_n}} \right).$

Линейно зависимые векторы

Векторы $\left\{ {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right\}$ векторного пространства  $V$ је линейно зависимые, если существуют числа ${x_1},{x_2},.....{x_n} \in {\rm K}$ среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что

${x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {x_n}{a_n} = 0.$

Если ${x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {x_n}{a_n} = 0$ тогда и только тогда, когда ${x_1} = {x_2} = .{\text{ }}.{\text{ }}. = {x_n} = 0$ , то векторы ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ линейно независимы.

Базис линейного пространства

Линейное пространство $V$ называеся $n$-мерным, если в нём существует система из $n$ линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число $n$ называется размерностью линейного пространства $V$ и обозначается $\dim V = n$. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность $n$ линейно независимых векторов (базисных векторов).