Линейная алгебра

Матрицы

Матрица $A$ размера $m \times n$ над полем $K$ это прямоугольная таблица, из $mn$ элементов из поля $K$, которая состоит из $m$ строк  и $n$ столбцов

 

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}}
\end{array}} \right]$

 

Элементы ${a_{ij}} \in {\rm K}\left( {i = 1,2,...,m,{\text{   }}j = 1,2,...,n} \right)$ называются элементами марицы $A$ и записывается $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ или  $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$, если известен размер матрицы $A$. Элемент ${a_{ij}}$ находится в $i$-той строке и $j$-том столбце матрицы $A$.

Элементы ${a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{im}}$ образуют $i$-тую строку, а элементы ${a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{mj}}$ $j$-тый столбец матрицы $A$.

Матрица размра $n \times n$ называется квадратной матрицей порядка $n$. Элементы ${a_{11}},{a_{22}},...,{a_{nn}}$ образуют главную диагональ, а элементы ${a_{1n}},{a_{2\left( {n - 1} \right)}},...,{a_{n1}}$ побочную  диагональ квадратной матрицы порядка $n$.

 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right]$

 

Транспонированная матрица

Транспонированная матрица для матрицы $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$  есть матрица ${A^T} = {\left[ {{a_{ji}}} \right]_{n \times m}}$, которая получается из матрицы $A$ заменой строк на столбцы. 

${A^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{21}}}& \cdots &{{a_{m1}}} \\
{{a_{12}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{m2}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{1n}}}&{{a_{2n}}}& \cdots &{{a_{mn}}}
\end{array}} \right]$

 

Свойства транспонированных матриц

  1. ${\left( {{A^T}} \right)^T} = A,$
  2. ${\left( {A + B} \right)^T} = {A^T} + {B^T},$
  3. ${\left( {\alpha A} \right)^T} = \alpha {A^T},\quad \alpha  \in K$
  4. ${\left( {AB} \right)^T} = {B^T}{A^T},$
  5. $\left( {{A_1}{A_2}...{A_K}} \right) = A_k^TA_{k - 1}^T...A_1^T.$


Равенство матриц

Матрицы $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times q}}$ равны тогда и только тогда, когда $m = p$, $n = q$ и 

${a_{ij}} = {b_{ij}},{\text{   }}i = 1,2,...,m;{\text{   }}j = 1,2,...,n.$


Нулевая матрица

Матрица $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$, у которой все элементы ${a_{ij}} = 0$  для i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n, называется нулевой матрицей и обозначается $0$.


Единичная матрица

Матрица, у которой все элементы на главной диагонали единицы, а остальные элементы нули, называется единичной матрицей и обозначается ${E_n}$ или $E$.

 

Действия над матрицами

Сложение матриц

Пусть $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ матрицы одного размера. Суммой матриц $А$ и $B$ называется матрица $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{m \times n}}$, такая, что:

${c_{ij}} = {a_{ij}} + {b_{ij}},{\text{   }}i = 1,2,...,m,{\text{   }}j = 1,2,...,n.$

Произведение матрицы на число

Пусть $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ матрица над полем $K$ и $s \in K$

Произведением матрицы $A$ на число $s$ называется матрица $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ такая,что:

${b_{ij}} = s{a_{ij}},{\text{   }}i = 1,2,...,m;{\text{   }}j = 1,2,...,n.$

Это произведение обозначается $sA$ или $s \cdot A$.

Разность матриц

Разностью матрицы $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и матрицы $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ называется матрица $C = A + sB$ , где  $s =  - 1$, т.е.

$C = A - B.$

 

Свойства сложения матриц

Для матриц одного порядка над полем $K$ важи:

  1. $A + O = O + A = A$,
  2. $A + \left( {B + C} \right) = \left( {A + B} \right) + C$,
  3. $A + \left( { - A} \right) = \left( { - A} \right) + A = O$,
  4. $A + B = B + A$,
  5. $s\left( {A + B} \right) = sA + sB,\quad s \in K$,
  6. $s\left( {tA} \right) = \left( {st} \right)A,\quad s,t \in K$,
  7. $1 \cdot A = A$.

 

Произведение матриц

Произведением матриц $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{n \times p}}$ называется матрица $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{m \times p}}$, такая,что:

${c_{ij}}{\text{  }} = {\text{  }}{a_{i1}} \cdot {b_{1j}} + {a_{i2}} \cdot {b_{2j}} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{in}} \cdot {b_{nj}}$

$ = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{b_{kj}},{\text{   }}i = 1,2,...,m;{\text{   }}j = 1,2,...,p.} $

Произведение матриц $A$ и $B$ обозначается $AB$


Свойства произведения матриц

  1. $A\left( {BC} \right) = \left( {AB} \right)C$
  2. $A\left( {B + C} \right) = AB + AC$
  3. $\left( {B + C} \right)A = BA + CA$
  4. $s\left( {AB} \right) = \left( {sA} \right)B = A\left( {sB} \right)$
  5. $AE = EA = A$

 

Подматрица (субматрица) матрицы

Подматрица матрицы $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ - это матрица ${\left[ {{a_{{i_p}{j_q}}}} \right]_{r \times s}},1 \leqslant r \leqslant m,1 \leqslant s \leqslant n,$, состоящая из элементов матрицы $A$, стоящих на пересечении выбранных $r$ столбцов $\left\{ {{i_1},{i_2},...,{i_r}} \right\}$ и $s$ строк $\left\{ {{j_1},{j_2},...,{j_s}} \right\}$.

Если $r = s$, то полученная подматрица - квадратная матрица порядка $r$.