Линейная алгебра

Обратная матрица

Пусть $A$- квадратная матрица порядка $n$. Матрица ${A^{ - 1}}$, удовлетворяющая вместе с заданной матрицей $A$ условиям: $A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = E$, где је $E$ - единичная матрица, называется обратной матрицей.

Матрицу $A$ называют обратимой, если для неё существует обратная матрица, в противном случае - необратимой.

Матрица $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{n \times n}}$ имеет обратную матрицу ${A^{ - 1}}$, тогда  и только тогда, когда $\det A = |A| \ne 0$. При том

${A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}} \cdot {A^ * } = \frac{1}{{|A|}} \cdot {A^ * },$

 

${A^ * } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{21}}}& \cdots &{{A_{n1}}} \\
{{A_{12}}}&{{A_{22}}}& \cdots &{{A_{n2}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{A_{1n}}}&{{A_{2n}}}& \cdots &{{A_{nn}}}
\end{array}} \right],$

 

где ${A^ * }$ - матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы $A$.  

Свойства обратной матрицы
Если произведение $AB$ - невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то:

 

${\left( {AB} \right)^{ - 1}} = {B^{ - 1}}{A^{ - 1}}.$

 

Если $A$ обратимая матрица, тогда

${\left( {{A^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = A, \quad \det {A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}.$