Линейная алгебра

Определители

Пусть

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right]$

квадратная матрица порядка $n$ и пусть {${i_1},{i_2},...,{i_n}$} - некоторая перестановка упорядоченного множества S = {1,2,...,n} первых $n$ натуральных чисел.

Составим произведение 

$${a_{1{i_1}}}{a_{2{i_2}}}...{a_{n{i_n}}},$$ содержащее $n$ элементов, в котором каждая строка и каждый столбец матрицы $A$ представлены одним и только одним из своих элементов. Например, первый сомножитель в этом произведении является элементом первой строки и ${i_1}$-го столбца, второй сомножитель представляет вторую строку и  ${i_2}$-ой столбец и так далее. 

Существует  $n!$  различных перестановок {${i_1},{i_2},...,{i_n}$}, каждой из которых соответствует составленное произведение  и, следовательно, существует  $n!$  различных произведений такого типа.

Сопоставим каждому из полученных произведений знак плюс или минус – в зависимости от четности или нечетности перестановки  {${i_1},{i_2},...,{i_n}$}. 

Чтобы формально описать такое сопоставление, введем число инверсий в перестановке {${i_1},{i_2},...,{i_n}$}, которое обозначим символическим выражением ${I_\alpha }$.

Заметим, что ${I_\alpha } = 0$, если перестановка  {${i_1},{i_2},...,{i_n}$} - чётная, и ${I_\alpha } = 1$, если перестановка {${i_1},{i_2},...,{i_n}$} - нечётная.

 Алгебраическая сумма всех возможных произведений вида: 

$$ {{{\left( { - 1} \right)}^{I\alpha }}} {a_{1\alpha \left( 1 \right)}} \cdot {a_{2\alpha \left( 2 \right)}}...{a_{n\alpha \left( n \right)}}$$ называется определителем (или детерминантом) матрицы A

$$\det A = \sum\limits_\alpha  {{{\left( { - 1} \right)}^{I\alpha }}} {a_{1\alpha \left( 1 \right)}} \cdot {a_{2\alpha \left( 2 \right)}}...{a_{n\alpha \left( n \right)}}.$$

Определитель матрицы $A$ ещё обозначается: $\left| A \right|$ или 

 

Детерминанта матрице $A$ означава се и са $\left| A \right|$ или 

$$\det A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\ 
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} 
\end{array}} \right]$$

 

Для $n = 2$ 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{21}}{a_{12}}.$

Для $n = 3$ 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = \begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{13}}{a_{21}}{a_{32}}} \\
{ - {a_{31}}{a_{22}}{a_{13}} - {a_{33}}{a_{21}}{a_{12}}}
\end{array}.$

Правило Саррюса

Правило Саррюса — метод вычисления определителя матрицы третьего порядка.

Первые два столбца матрицы записываются справа возле матрицы. Произведения элементов, стоящих на линиях, "параллельных" главной диагонали, складываются, затем из результата вычитаются произведения элементов, находящихся на линиях, "параллельных" побочной диагонали:

 

Минор и алгебраическое дополнение

Минором ${M_{ij}}$ к элементу ${a_{ij}}$ определителя $n$-го порядка называется определитель $n-1$-го порядка, полученный из исходного вычёркиванием $i$-ой строки и $j$-того столбца матрицы $A$.

Алгебраическим дополнением ${A_{ij}}$ к элементу ${a_{ij}}$ определителя $n$-го порядка называется число: ${A_{ij = }}{\left( { - 1} \right)^{i + j}}{M_{ij}}$.

Теорема Лапласа

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е, если $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$ квадратная матрица порядка $n$, тогда 

$\det A = {a_{i1}}{A_{i1}} + {a_{i2}}{A_{i2}} + ... + {a_{in}}{A_{in}},{\text{   }}i = 1,2,...,n;$

$\det A = {a_{1j}}{A_{1j}} + {a_{2j}}{A_{2j}} + ... + {a_{nj}}{A_{nj}},{\text{   }}j = 1,2,...,n;$

т.к.

${a_{i1}}{A_{k1}} + {a_{i2}}{A_{k2}} + ... + {a_{in}}{A_{kn}} = 0, \quad i \ne k,$

${a_{1j}}{A_{1k}} + {a_{2j}}{A_{k2}} + ... + {a_{in}}{A_{kn}} = 0,{\text{   }}j \ne k,$

 

Свойства определителей

  1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е. 
    $$\det A = \det {A^T}$$
  2. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный.
  3. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю.
  4. Если в определителе $D$ все элементы $k$-го ряда представлены в виде суммы двух слагаемых $${a_{kj}} = {b_{kj}} + {c_{kj}},{\text{    }}j = 1,2,...,n,$$ то он равен сумме двух определителей ${D_1}$ и ${D_2}$, у которых те же элементы, кроме элементов в $k$-ом ряду, где они соответственно равны ${b_{k1}},{b_{k2}},...,{b_{kn}}$ и ${c_{k1,}}{c_{k2}},...,{c_{kn}}$.
  5. Минор ${M_{ij}}$ к элементу ${a_{ij}}$ определителя $D$ $n$-го порядка является определитель  $n-1$-го порядка, полученный из исходного вычёркиванием $i$-ой строки и $j$-того столбца матрицы $A$. 
  6. Алгебраическиое дополнение ${A_{ij}}$ к элементу ${a_{ij}}$ определителя $n$-го порядка - это минор ${M_{ij}}$ са знаком ${\left( { - 1} \right)^{i + j}}$, т.е.
    $${A_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}{M_{ij}}.$$
  7. Если все элементы $i$-той строки определителя $D$ равны нулю, за исключением элементов ${a_{ij}}$, которые не равны нулю, тогда
    $$D = {a_{ij}}{A_{ij}}.$$
  8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения $$D = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{A_{ik}},{\text{   }}i = 1,2,...,n,} $$ $$D = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}{A_{kj}},{\text{   }}j = 1,2,...,n.} $$
  9. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю.
  10. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.
  11. Сумма произведений всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя $D$ и алгебраических дополнений соответствующих другим элементам строки (столбца) равна нулю.
    $$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{A_{jk}} = 0,{\text{   }}i \ne j,} $$
    $$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}{A_{ki}} = 0,{\text{   j}} \ne {\text{i}}{\text{.}}} $$
  12. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя. Ако се матрица $A$ добија из матрице $B$ тако што се једна произвољна врста матрице понможи константом $\alpha  \in {\rm K}$ онда је
    $$\det .B = \alpha  \cdot \det A.$$
  13. Если $A$  и $B$  матрицы одного порядка, тогда
    $$\det AB = \det A \cdot \det B.$$