Линейная алгебра

Системы линейных уравнений

Линейное уравнение с неизвестными ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ называется уравнение вида:

${a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} = b,$

где ${a_1},{a_2},...{a_n}$ действительные числа, которые называются коэффециентами при неизвестных,  а $b$ действительное число, который называется свободным членом уравнения.

Если $b = 0$ , то уравнение называется однородным.

Система линейных уравнений - это объединение из $m$ линейных уравнений, каждое из которых содержит $n$ переменных ${x_1},{x_2},...,{x_n}$.Записывается это так:

${a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{1n}}{x_n}{\text{   }} = {b_1},$

${a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{2n}}{x_n}{\text{   }} = {b_2},$

.
.
.

${a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{mn}}{x_n}{\text{   }} = {b_m},$


Где ${a_{ij}}, {b_i}\left( {i = 1,2,...,m;{\text{ }}j = 1,2,...,n} \right)$ действительные числа.

  1. Система линейных уравнений совместна и определена, когда она имеет ровно одно решение.  Система несовместна, если множество всех решений пусто. Система совместна и не определена, когда имеет бесконечно много решений.

  2. Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множества их решений совпадают, т.е. решения одной системы являются решениями другой и наоборот. Можно сказать, что две несовместные системы эквивалентны.


Метод Крамера
Если определитель 

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_2}_2}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right|$

системы линейных уравнений 

${a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{1n}}{x_n}{\text{   }} = {b_1},$

${a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{2n}}{x_n}{\text{   }} = {b_2},$

.
.
.

${a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{mn}}{x_n}{\text{   }} = {b_m},$

отличен от нуля, тогда эта система имеет единственное решение

 

${x_1} = \frac{{{D_1}}}{D},{\text{ }}{x_2} = \frac{{{D_2}}}{D},...,{x_n} = \frac{{{D_n}}}{D},$

 

где ${D_i},{\text{ }}i = 1,2,...,n$, определитель матрицы системы  в котором i-ый столбец  заменяется столбцом свободных членов.

Если $D = 0$ и хотя бы один из определителей ${D_i}$ отличен от нуля, тогда система несовместна. 
Если $D = {D_i} = 0,  {\text{ }}i = 1,2,...,n$, тогда система может быть неопределена  или несовместна.