Математическая логика, множества, функции

Функции

Понятие функции

Пусть $A$ и $B$ два непумтых множества, говорят, что на множестве  $A$ имеется функция (отображение, операция, оператор) $f$ со значениями из $B$, если каждому элементу $x$ из множества $A$ по правилу $f$ поставлен в соответствие некоторый элемент $y$ из множества $B$.

Говорят также, что функция $f$ отображает множество $A$ в множество $B$. Это записывается:

$$f:A \to B$$

Функцию также обозначают: $y = f\left( x \right)$.

Итак, функция $y = f\left( x \right)$ (или кратко: $f\left( x \right)$ или $f$) представляет собой тройку объектов $A$, $f$ и $B$, где

  • множество $A$ - называется областью задания функции, обозначается: $D\left( f \right)$;
  • множество $B$ - называется областью значений функции, обозначается $E\left( f \right)$;
  • $f$ - правило, по которому каждому элементу $x$ из множества $A$ сопоставляется некоторый элемент $y$ из множества $B$.

Обозначенный буквой $x$, каждый элемент множества $A$ называется независимой переменной или аргументом функции.

Элемент $y$, соответствующий фиксированному элементу $x$ называется частныи значением функции в точке $x$.

Совокупность всех частных значений $y$ называется множеством значений функции и является подмножеством области значений $B$. 

Теоретико-множественное определение

Функцией $f$ называется множество упорядоченных пар $\left( {x,y} \right) \in A \times B$, удовлетворяющее условию: для любого $x$ из множества $A$ существует единственный элемент $y$ из множества $B$, такой, что $\left( {x,y} \right) \in f$.

  • множество всех $y$, таких, что $\left( {x,y} \right) \in f$, для $x$, принадлежащих множеству $A$, называется множеством значений функции;
  • множество упорядоченных пар $f \subset A \times B$ называется также графиком функции.

Функции $f$ и $g$ называются равными, если их графики совпадают.

Если $\left( {x,y} \right) \in f$, тогда $y$  называется образом элемента $x$, а сам $x$ - называется прообразом.

Отображение (функция) $f:A \to B$ называется сюръективным (или сюрьекцией, или отображением на  $B$), если каждый элемент множества $B$ является образом хотя бы одного элемента множества $A$.

Отображение (функция) $f:A \to B$ называется инъекцией (или вложением, или взаимно однозначным отображением множества $A$ в множество $B$), если разные элементы множества $A$ переводятся в разные элементы множества $B$.

Биекция — это отображение (функция), которое является одновременно и сюръективным, и инъективным.

"на" или суръекция если $\left( {\forall y \in B} \right)\left( {\exists x \in A} \right)\left( {y = f\left( x \right)} \right)$ 
"1-1" или инъекция если  $\left( {\forall {x_1},{x_2} \in A} \right)\left( {f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow {x_1} = {x_2}} \right)$
биекция если одновременно и суръекция, и инъекция


Пермутација

Пермутација скупа $A$ је бијекција скупа $A$ на самог себе.

Обратная функция

Если отображение ${f^{ - 1}}$ функции $f$ также функция, то функция ${f^{ - 1}}$ называется обратной функцией к функции $f$.

Ако је инверзна релација ${f^{ - 1}}$ функције $f$ такође функција, онда се каже да је ${f^{ - 1}}$ инверзна функција функције $f$.

 

Композиция отобрашений

Если даны отображения (функции) $f:A \to B$ и $q:B \to C$, то функция $q \circ f:A \to C$, определённая таким образом:

 

$\left( {q \circ f} \right)\left( x \right) = q\left( {f\left( x \right)} \right)$

 

называется композицией отображений (функций) $f$ и $q$.

Если $f:D\left( f \right) \to {E}\left( f \right)$ биетивное отображение, то существует отображение ${f^{ - 1}}$, такое, что для каждого $x \in D\left( f \right)$ и каждого $y \in {C_D}\left( f \right)$ справедливо

$\left( {{f^{ - 1}} \circ f} \right)\left( x \right) = x$, $\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( y \right) = y$

Способы задания функции

  1. Функцию можно задать непосредственно, как множество упорядоченных пар
    $f = \left\{ {\left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right),....,\left( {{x_n},{y_n}} \right)} \right\}$
    или
    $f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{x_1}{\text{ }}{x_2}{\text{ }}...{\text{ }}{x_3}} \\
    {{y_1}{\text{ }}{y_2}{\text{ }}...{\text{ }}{y_3}}
    \end{array}} \right)$
  2. Функцию можно задать заданием правила(формулы) по которому каждому элементу $x$ из области задания функции сопоставляется некоторый элемент $y$ из области значений
    $f = \left\{ {\left( {x,y} \right)|y = R\left( x \right)} \right\}$

Записывается $x \mapsto f\left( x \right) = R\left( x \right)$ или $f\left( x \right) = R\left( x \right)$, где $y = R\left( x \right)$


Конечное и бесконечное множество

Скуп је бесконачан ако постоји бијекција која га пресликава на неки његов прави подскуп. У противном, скуп је коначан.

Мощность множества

Мощность множества - это характеристика множества, обобщающая понятие количества элементов множества.

Любые два множества  $A$ и $B$, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие (биекция) $f:A \to B$, содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность). Это записывается: $card\left( B \right)$ или $|A| = |B|$.

Мощность множества $A$ есть $n \in N$ тогда и только тогда, когда существует биективное отображение $f:A \to \left\{ {1,2,....,n} \right\}$.

Счётное и несчётное множество

Счётное множество - это бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами, т.е. существует биективное отображение этого множества на множество природных чисел

$f:A \to \left\{ {1,2,....,n} \right\}$ - биекция, 

в противном случае множество несчётно.