Сходимость и непрерывность

Асимптоты

Вертикальные асимптоты

График функции $y = f(x)$ при аргументе котрый стремится к точке $x \to a$ имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) =  \pm \infty $.

Кроме этого точка $x = a$ является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:

$x = a$.

Наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид:

$y = ax + b$

где $a,b$ - пределы, которые вычисляются по правилу

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } (f(x) - ax).$

Если оба пределы существуют и конечны, то функция имеет наклонную асимптоту, иначе - нет.

Следует отдельно рассматривать случаи, когда аргумент стремится к бесконечности ($x \to  + \infty$ ) и минус бесконечности ($x \to  - \infty$ ).