Сходимость и непрерывность

Предел функции

Предел функции в бесконечности

Число $A$ называется пределом функции $y = f\left( x \right)$ при $x$ стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного $\varepsilon $, найдется такое число $M$ (зависящее от $\varepsilon $), что для всех $x$ таких, что $\left| x \right| > M$,выполнено неравенство: \[\left| {f\left( x \right) - A} \right| < \varepsilon .\]

На языке кванторов определение предела функции в бесконечности запишется следующим образом:

$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right),$ если $\forall \varepsilon  > 0\exists M:\forall \left| x \right| > M\left| {f\left( x \right) - A} \right| < \varepsilon $

Предел функции в точке

Число $A$ называется пределом функции $y = f\left( x \right)$ при $x$ стремящемся к определенному значению $a$ если для любого, даже сколь угодно малого положительного $\varepsilon $, найдется такое число $\delta  > 0$ (зависящее от $\varepsilon $), что для всех $x$ из $\delta$-окрестности точки $a$, выполнено неравенство: \[\left| {f\left( x \right) - A} \right| < \varepsilon .\]

Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:

$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to \ a } f\left( x \right)$, если $\forall \delta \left( \varepsilon  \right) > 0:\left| {x - a} \right| < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - A} \right| < \varepsilon $

Критерий Коши существования предела функции

Будем говорить, что функция $f$ удовлетворяет в точке ${x_0}$ условию Коши, если для любого положительного числа $\varepsilon  > 0$, найдётся отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для любых двух значений аргумента ${x_1}$ и ${x_2}$, удовлетворяющих условиям

$\left| {{x_1} - {x_0}} \right| < \delta $ и $\left| {{x_2} - {x_0}} \right| < \delta $,

справедливо неравенство

$\left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| < \varepsilon$.

Для того чтобы функция $f$ имела в точке ${x_0}$ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция $f$ удовлетворяла в точке ${x_0}$ условию Коши.

 

Односторонние пределы

Кроме определения обычного предела функции в точке возможно также дать определение понятия одностороннего предела.

Пределом функции $f$ в точке ${x_0}$ слева называется предел, вычисляемый в предположении, что $x \to {x_0}$, оставаясь всё время меньше значения ${x_0}$.

Аналогично, пределом справа называется предел функции $f$ при $x \to {x_0}$, при том, что $x > {x_0}$. Односторонние пределы обозначаются так:

 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f\left( x \right) = L$, $\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} f\left( x \right) = L} \right)$

Функция $f$ имеет предел в точке ${x_0}$ тогда т только тогда, когда она имеет в этой точке правый и левый предел и они равны.

Пределы на бесконечности

Пусть числовая функция $f$ задана на множестве $Х$, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного $\delta $ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка $\left[ { - \delta , + \delta } \right]$. В этом случае число $L$ называется пределом функции $f$ на бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon  > 0$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta $ такое, что для всех точек, превышающих $\delta $ по абсолютному значению, справедливо неравенство $|f\left( x \right) - L| < \varepsilon $.

Обозначается: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = L$

Пусть числовая функция $f$ задана на множестве $Х$, в котором  для любого числа $\delta $ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $L$ называется пределом функции $f$ на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon  > 0$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta $ такое, что для всех точек, лежащих правее $\delta $, справедливо неравенство $|f\left( x \right) - L| < \varepsilon $.

Обозначается: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = L$

Пусть числовая функция $f$ задана на множестве $Х$, в котором  для любого числа $\delta $ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $L$ называется пределом функции $f$ на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon  > 0$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta $ такое, что для всех точек, лежащих левее $\-delta $, справедливо неравенство $|f\left( x \right) - L| < \varepsilon $.

Обозначается: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L$

Основные теоремы о пределе

Если для случаев
$x \to {x_0}$, $x \to {x_0} \pm 0$, $x \to {x_0} \pm 0$, 

существуют пределы

$\lim f\left( x \right) = a$ и $\lim g\left( x \right) = b$,

тогда

  1. $\lim \left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = a \pm b$,
  2. $\lim \left( {C \cdot f\left( x \right)} \right) = Ca,{\text{   }}S \in \mathbb{R}$,
  3. $\lim \left( {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right) = ab$ ,
  4. $\lim \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{a}{b}$, ако је $b \ne 0$,
  5. Если $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = a$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) = b$, тогда

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( {f\left( x \right)} \right) = b$.

Основные пределы

  1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e$,
  2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{c^x} - 1}}{x} = \ln c,{\text{   }}c > 0,c \ne 1$,
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{c^x} - 1}}{x} = 1$,
  4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$,
  5. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} {x^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} {e^{x\ln x}} = 1$,
  6. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\text{tg}}x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\text{sh}}x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\text{th}}x}}{x} = 1$,
  7. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \omega x}}{x} = \omega ,{\text{   }}\omega  \in \mathbb{R}$,
  8. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} {x^a}\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^{ - a}}\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^a}{e^{ - x}} = 0,a = 0$.