Тригонометрия

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции острого угла

 Рассмотрим прямоугольный треугольник  $ABC$ с прямым углом при вершие $C$.

Обозначим за  $a$ и $b$ длины катетов $BC$ и $CA$, а за $c$ длину гипотенузы  $AB$ треугольника $ABC$. Пусть $\alpha $ зачение угола $\measuredangle CAB$. Тогда:

pravougli trougao2

  1. Синус: $\sin \alpha  = \frac{a}{c}$, отношение противолежащего катета к гипотенузе,
  2. Косинус: $\cos \alpha  = \frac{b}{c}$, отношение прилежащего катета к гипотенузе, 
  3. Тангенс: $tg\alpha  = \frac{a}{b}$, отношение противолежащего катета к прилежащему,
  4. Котангенс: $ctg\alpha  = \frac{b}{a}$, отношение прилежащего катета  противолежащему,
  5. Секанс: $\sec \alpha  = \frac{c}{b}$, отношение гипотенузы к прилегающему катету,
  6. Косеканс: $\cos ec\alpha  = \frac{c}{a}$, отношение гипотенузы к противолежащиму катету.

Тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность - это окружность  $k$ с цетром в начале системы координат $O$ и радиусом  $1$. Точки пересечения окружости $k$ с положительным направлением осей $Ox$ и $Oy$ обозначим $A$ и $B$.

Пусть $M\left( {x,y} \right)$ произвольная точкка окружности $k$. Касательные к окружности $k$ в точках $A$ и $B$ пересекают прямую $OM$ в точках $N\left( {1,{y_n}} \right)$ и $P\left( {{x_p},1} \right)$ соответственно.

 

trigonometrijska kruznica

 

Пусть $\varphi $ значение угола $\measuredangle AOM$. Будем отсчитываь углы от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.  

Тогда

 

$\sin \varphi  = y$, 

$\cos \varphi = x$, 

$tg \varphi = {y_n}$, 

$ctg \varphi = {x_p}$

 

Так как углам $\varphi + 2k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ на окружности $k$ соответствует точка $M$, тогда

  

$\sin \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \sin \varphi$, 

$\cos \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \cos \varphi$ 

 

Углам $t + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ соответствуют точки $N$ и $P$,  тогда

 

$tg\left( {\varphi + k\pi } \right) = tg\varphi$, 

$ctg\left( {\varphi + k\pi } \right) = ctg\varphi$.

 

Так как точка $M\left( {x,y} \right) = M\left( {\cos \varphi,\sin \varphi} \right)$ принадлежит окружности $k$ для любого $\varphi \in \mathbb{R}$, то справедливо, что 

 

$ - 1 \leqslant \sin \varphi \leqslant 1$, 

$ - 1 \leqslant \cos \varphi \leqslant 1$, 

${\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1$

 

Знаки тригонометрических функций по квадрантам

квадрант I II III IV
$\sin \varphi$ + + - -
$\cos \varphi$ + - - +
${\text{tg }}\varphi$ + - + -
${\text{ctg }}\varphi$ + - + -


Свойства тригонометрических функций

 

$\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha $, $\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha $

 

$tg\left( { - \alpha } \right) =  - tg\alpha $, $ctg\left( { - \alpha } \right) =  - ctg\alpha $

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {2k\pi + \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\pi \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ \mp \sin } \\
{ - \cos } \\
{ \pm tg} \\
{ \pm ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{\pi }{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ + \sin } \\
{ \mp \cos } \\
{ \mp tg} \\
{ \mp ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{{3\pi }}{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \sin } \\
{ \pm \cos } \\
{ \mp tg} \\
{ \mp ctg}
\end{array}} \right\}$

 

Основные тригонометрические формулы


${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$, 

$t{\text{g}}\alpha  \cdot {\text{ctg}}\alpha  = 1$

 

${\text{tg}}\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$, 

${\text{ctg}}\alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$,

 

$\sin \alpha  \cdot \cos ec\alpha  = 1$, 

$\cos \alpha  \cdot \sec \alpha  = 1$,

 

${\sec ^2} = 1 + t{g^2}\alpha $, 

$\cos e{c^2}\alpha  = 1 + ct{g^2}\alpha $,

 

${\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + t{g^2}\alpha }} = \frac{{ct{g^2}\alpha }}{{1 + ct{g^2}\alpha }}$,

 

${\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + ct{g^2}\alpha }} = \frac{{t{g^2}\alpha }}{{1 + t{g^2}\alpha }}$.

 

Значения тригонометрических функций для различных углов

 

$\alpha $ ${0^ \circ }$
$0$ 
${30^ \circ }$
$\frac{\pi }{6}$ 
${45^ \circ }$
$\frac{\pi }{4}$ 
${60^ \circ }$
$\frac{\pi }{3}$ 
${90^ \circ }$
$\frac{\pi }{2}$ 
${180^ \circ }$
$\pi $ 
${270^ \circ }$
$\frac{{3\pi }}{2}$ 
${360^ \circ }$
$2\pi $ 
$\sin \alpha $ $0$ $\frac{1}{2}$  $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ 1 0 -1  0
$\cos \alpha $ 1 $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 -1 0 1
${\text{tg}}\alpha $ $0$ $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$  1 $\sqrt 3 $ $\infty $ 0 $\infty $ 0
${\text{ctg}}\alpha $ $\infty $ $\sqrt 3 $  1 $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ 0 $\infty $ 0 $\infty $
$\sec \alpha $ 1 $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$ $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$  2 $\infty $ -1 $\infty $ 1
$\cos ec{\text{ }}\alpha $ $\infty $ 2 $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$ 1 $\infty $ -1 $\infty $

 

Формулы сложения и вычитания аргументов

 

$\sin \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \sin \alpha  \cdot \cos \beta  \pm \cos \alpha  \cdot \sin \beta $,

 

$\cos \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \cos \alpha  \cdot \cos\beta  \mp \sin \alpha  \cdot \sin \beta $.

 

Для любых $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ справедливо

 

$tg\left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{tg\alpha  \pm tg\beta }}{{1 \mp tg\alpha  \cdot tg\beta }}$, $\left( {1 \mp tg\alpha tg\beta  \ne 0} \right)$

 

Для любых $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ справедливо

 

$ctg\left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{ctg\alpha  \cdot ctg\beta  \mp 1}}{{ctg\alpha  \pm ctg\beta }}$, $\left( {ctg\alpha  \pm ctg\beta  \ne 0} \right)$

 

Тригонометрические формулы двойного угла


 $\sin 2\alpha {\text{   =   }}2\sin \alpha \cos \alpha $,

 

$\cos 2\alpha {\text{   =   }}{\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1$

 

$tg2\alpha  = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }}$, 

$ctg2\alpha  = \frac{{ct{g^2}\alpha  - 1}}{{2ctg\alpha }}$.

 

Тригонометрические формулы половинного угла 

$\sin \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}} $, 

$\cos \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}} $,

 

$tg\frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}}  = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$,

 

$ctg\frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = } \frac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.

 

Формулы преобразования суммы и разноси функций в произведение

 

$\sin \alpha  \pm \sin \beta  = 2\sin \frac{{\alpha  \pm \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha  \mp \beta }}{2}$,

 

$\cos \alpha  + \cos \beta  = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2}$,

 

$\cos \alpha  - \cos \beta  =  - 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}$,

 

$tg\alpha  \pm tg\beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha  \cdot \cos \beta }}$,

 

$ctg\alpha  \pm ctg\beta  = \frac{{\sin \left( {\beta  \pm \alpha } \right)}}{{\sin \alpha  \cdot \sin \beta }}$.

 

Формулы преобразования произведения функций в сумму и разность

 

$\sin \alpha  \cdot \sin \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right].$

 

$\sin \alpha  \cdot \sin \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right],$

 

$\cos \alpha  \cdot \cos \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right].$

 

Важные тригономерические формулы

 

$\sin \alpha  = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}$, 

$\cos \alpha  = \frac{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}$, 

${\text{tg}}\alpha  = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}$

 

$\sin \alpha  + \sin 2\alpha  + \sin 3\alpha  + ... + \sin n\alpha  = \frac{{\cos \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}}$

 

$\cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha  + ... + \cos n\alpha  = \frac{{ - \sin \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}}$