Аритметика и алгебра

Рационални алгебарски изрази

Рационални алгебарски израз се дефинише на следећи начин:

  1. Симболи реалних бројева $\left( {1,2,0, - 5,\frac{1}{3},\sqrt 8 ,\pi ,e,...} \right)$ су рационални алгебарски изрази;
  2. Симболи променљивих $\left( {x,y,a,b,c,\alpha ,\beta ,....} \right)$ су рационални алгебарски изрази;
  3. Ако су $A$ и $B$ рационални алгебарски изрази, онада су и $A + B,A - B,A \cdot B$ и $\frac{A}{B}$ такође рационални алгебарски изрази.
  4. Сви рационални алгебарски изрази се добијају коначном применом паравила 1,2 и 3. 

Изарази у чијем формирању не учествује операција дељења изразом који садржи променљиве, називају се цели рационални алгебарски изрaзи или полиноми.


Трансформације целих алгебарских израза

Дистрибутивни закон

$A\left( {B \pm C} \right) = AB \pm AC,$

$\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + BC + AD + BD$.


Збир и разлика квадрата

${A^2} + {B^2} = \left( {A + B - \sqrt {2AB} } \right)\left( {A + B + \sqrt {2AB} } \right),$

${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$.

 

Збир и разлика кубова

${A^3} \pm {B^3} = \left( {A \pm B} \right)\left( {{A^2} \mp AB + {B^2}} \right)$.


Збир и разлика $n$-тих степена

За $n \in \mathbb{N}$ важи

${A^{2n}} + {B^{2n}} = \left( {{A^n} + {B^n} - \sqrt {2{A^n}{B^n}} } \right)\left( {{A^n} + {B^n} + \sqrt {2{A^n}{B^n}} } \right)$,

${A^{2n}} - {B^{2n}} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^{2n - 1}} + {A^{2n - 2}}B + \cdot \cdot \cdot + A{B^{2n - 2}} + {B^{2n - 1}}} \right)$,

${A^{2n - 1}} + {B^{2n - 1}} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^{2n - 2}} - {A^{2n - 3}}B + \cdot \cdot \cdot - A{B^{2n - 3}} + {B^{2n - 2}}} \right)$,

${A^{2n - 1}} - {B^{2n - 1}} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^{2n - 2}} + {A^{2n - 3}}B + \cdot \cdot \cdot + A{B^{2n - 3}} + {B^{2n - 2}}} \right)$.


Квадрат бинома

${\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}.$


Куб бинома 

${\left( {A \pm B} \right)^3} = {A^3} \pm 3{A^2}B + 3A{B^2} \pm {B^3}$.

 

Квадрат тринома

${\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2AC + 2BC$


Полиноми једне промењиве

Полином по промењивој $x$ је функција

$P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$,

Где је $n$ природан број или 0, а ${a_0},{a_1},...,{a_n}$ реални или комплексни бројеви. Ако је ${a_n} \ne 0,$ број $n$ се зове степен полинома $P\left( x \right)$, а за полином $P\left( x \right)$ каже се да је полином степена $n$ по $x$. Ако се наглашава степен полинома, пише се ${P_n}\left( x \right)$.

Број 0 сматра се за полином неодређеног степена, и назива се нула-полином.

Чланови полинома $P\left( x \right)$, су $\text{ }{a_n}{x^n},\text{ }{a_{n - 1}}{x^{n - 1}},...,{a_1}x,\text{ }{a_0},\text{ }$ од којих је ${a_n}{x^n}$ водећи члан, и ${a_0}$ слободни члан.

Коефицијенти полинома $P\left( x \right),$ су ${a_0},{a_1},...,{a_{n - 1}},{a_n},$ од којих је ${a_n}$ водећи коефицијент.

За полином ${P_n}\left( x \right)$ се каже да је реалан ако су његови коефицијенти реални бројеви. Надаље се посматрају само реални полиноми, а скуп свих реалних полинома степена не већег од $n$ означава се са ${ \mathbb{P}_n}.$


Алгебарска једначина

Алгебарска једначина је

${P_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0.$

Нула или корен полинома $P\left( x \right)$ је такав комплексан број ${x_0}$, за који је $P\left( {{x_0}} \right) = 0$.

Решење једначине $P\left( x \right) = 0$ је свака нула полинома $P\left( x \right)$.

Ако је ред полинома непаран, полином има бар једну реалну нулу.

Ако је $z = \mathbb{C}$ нула полинома, онда је и њему конјугован број $\bar z$ нула тог полинома.


Факторизација полинома

Ако је ${x_1}$ нула полинома ${P_n}\left( x \right)$, тада је полином ${P_n}\left( x \right)$ дељив са $x - {x_1}$ и важи

${P_n}\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right){P_{n - 1}}\left( x \right).$


Вишеструке нуле полинома

Нека је ${x_1}$ нула полинома ${P_n}\left( x \right)$, и нека су полиноми ${P_{n - 1}}\left( x \right),{P_{n - 2}}\left( x \right),...,{P_{n - k}}\left( x \right),k \le n,$ дефинисани са

${P_{n - i}}\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right){P_{n - i - 1}}\left( x \right),{\text{ }}i = 0,1,2,...,k - 1$.

Ако је ${x_1}$ нула полинома

${P_n}\left( x \right),{P_{n - 1}}\left( x \right),{P_{n - 2}}\left( x \right),...,{P_{n - k + 1}}\left( x \right),{\text{ }}k \le n$,

а није нула полинома ${P_{n - k}}\left( x \right),$ онда је ${x_1}$ нула реда $k$ полинома ${P_n}\left( x \right)$ и важи

${P_n}\left( x \right) = {\left( {x - {x_1}} \right)^k}{P_{n - k}}\left( x \right)$.

За нулу реда $k > 1$ каже се да је вишеструка, а за нулу реда $k = 1$ да је једнострука или проста.

Ако полином ${P_n}\left( x \right)$ има нуле

${x_1}{x_2},...,{x_m}$,

чији су редови респективно

${k_1},{k_2},...,{k_m},{\rm{ }}\sum\limits_{j = 1}^m {{k_j}} = n$,

тада је

${P_n}\left( x \right) = {a_0}{\prod\limits_{j = 1}^m {\left( {x - {x_j}} \right)} ^{{k_j}}}$.


Основни став алгебре

Сваки полином степена $n$ има у пољу комплексних бројева $n$ нула, при чему се вишеструке нуле броје онолико пута колика им је вишеструкост.


Принцип идентитета за полиноме

Полином $P\left( x \right)$ је идентички једнак нули, ако има вредност 0 за свако $x$.

Полином је идентички једнак нули ако и само ако су сви његови коефицијенти идентички једнаки нули.

Два полинома $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ су идентички једнака, ако имају једнаке вредности за свако $x$.

Потребан и довољан услов да полиноми $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ буду идентички једнаки је да су коефицијенти њихових одговарајућих чланова једнаки, при чему су одговарајући чланови изрази облика $a{x^p}$ и $b{x^p}$.


Вијетове формуле

Ако полином

${P_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_n}_{ - 1}{x^{n - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {a_1}x + {a_0}$

има нуле ${x_1},{x_2},....,{x_n},$ онда је

$$ - \frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}}} = {x_1} + {x_2} + \cdot \cdot \cdot + {x_n},$$

$$\frac{{{a_{n-2}}}}{{{a_n}}} = {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \cdot \cdot \cdot + {x_{n - 1}}{x_n},$$

$:$

$:$

$${\left( { - 1} \right)^k}\frac{{{a_{n-k}}}}{{{a_n}}} = {x_1}{x_2} \cdot \cdot \cdot {x_k} + \cdot \cdot \cdot + {x_{n - k + 1}}{x_{n - k + 2}} \cdot \cdot \cdot {x_n},$$

$:$

${\left( { - 1} \right)^n}\frac{{{a_0}}}{{{a_n}}} = {x_1}{x_2} \cdot \cdot \cdot {x_n}$.


Квадратна једначина

Нека су $a$, $b$ и $c$ реални бројеви и $a \ne 0$. Једначина

$a{x^2} + bx + c = 0$

је квадратна једначина.


Дискриминанта квадратне једначине је број

$D = {b^2} - 4ac$.

 

$D$ решења
$D > 0$ реална и различита ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$
$D = 0$ реална и једнака ${x_{1,2}} = \frac{{ - b}}{{2a}}$
$D < 0$ конјуговано комплексна ${x_{1,2}} = - \frac{b}{{2a}} \pm i\frac{{\sqrt {4ac - {b^2}} }}{{2a}}$


Вијетова теорема

Бројеви ${x_1}$ и ${x_2}$ су решења квадратне једначине акo и само ако је

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \quadи\quad{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}$.


Факторизација квадратног тринома

Ако су ${x_1}$ и ${x_2}$ нуле квадратног тринома $a{x^2} + bx + c$, онда се он раставља на чиниоце по формули

$a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

Алгебарски разломци

Алгебарски разломак је рационални алгебарски израз који се може записати у облику

$\frac{A}{B}, \text{ }B \ne 0,$

где су $A$ и $B$ цели рационални изрази.

Једнакост алгебарских разломака

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ако и само ако је $AD=BC, \text{ } B \ne 0, \text{ } C \ne 0.$

Проширивање разломака

$\frac{A}{B}=\frac{AM}{BM}, \text{ }B \ne 0, \text{ }M \ne 0.$

Скраћивање разломака

$\frac{AM}{BM}=\frac{A}{B}, \text{ }B \ne 0,\text{ }M \ne 0.$

Множење разломака

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}, \text{ }B \ne 0, \text{ }D \ne 0.$

Дељење разломака

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}, \text{ }B \ne 0,\text{ },C \ne 0, \text{ },D \ne 0.$

Сабирање и одузимање разломака

$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B}=\frac{A \pm C}{B}, \text{ } B \ne 0.$

$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D}=\frac{AD_1 \pm CB_1}{E}, \text{ }B \ne 0,\text{ }D \ne 0,$

$E=\text{NZS}(B,D), \text{ }D_1=E:B,\text{ }B_1=E:D.$

Двојни разломак


$\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}=\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC},\text{ }B \ne 0,\text{ }C \ne 0,\text{ }D \ne 0.$