Аритметика и алгебра

Реални бројеви

Скуп реалних бројева обележава се са $\mathbb{R}$.

Релација једнакости

Релација једнакости реалних бројева има особине:

  • одређеност: за реалне бројеве $a$ и $b$ увек је или $a = b$ или $a \ne b$,
  • рефлексивност: $a = a$,
  • симетричност: из $a = b$ следи $b = a$,
  • транзитивност: из $a = b$ и $b = c$ следи $a = c$.


Сабирање и множење

Сабирање и множење реалних бројева има следеће особине:

  • затвореност: ако је $a,b \in \mathbb{R}$, онда је $a + b \in \mathbb{R}$ и $ab \in \mathbb{R}$. 
  • једнакост: ако је $a = {a_1}$ и $b = {b_1}$, онда је $$a + b = {a_1} + {b_1},$$ $$ab = {a_1}{b_1},$$
  • комутативност: $$a + b = b + a,$$ $$ab = ba,$$
  • асоцијативност: $$a + \left( {b + c} \right) = \left( {a + b} \right) + c = a + b + c,$$ $$a\left( {bc} \right) = \left( {ab} \right)c = abc,$$
  • постојање неутралног елемента за сабирање (нула) и множење (јединица): $$a+0=a,$$ $$a \cdot 1=a,$$
  • постојање инверзног елемента за сабирање (супротан) и множење (реципрочан): $$a + \left( { - a} \right) = a - a = 0,$$ $$a\left( {{a^{ - 1}}} \right) = a{a^{ - 1}} = 1, \left( {a \ne 0} \right),$$
  • дистрибутивност: $$a\left( {b + c} \right) = ab + ac.$$

На основу наведених особина, доказују се и друге особине реалних бројева у вези са сабирањем и множењем, као што су:

  1. $a \cdot 0 = 0$, 
  2. за $a,b \in \mathbb{R}$, постоји $x \in \mathbb{R}$ такво да је $a + x = b$, 
  3. из $a + x = b + x$ следи $a = b$, 
  4. за $a \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$, постоји $x \in \mathbb{R}$ такво да је $ax = 1$, 
  5. из $ax = bx,x \ne 0$ следи $a = b$, 
  6. из $ab = 0$ следи $a = 0$ или $b = 0$, 
  7. из $ab \ne 0$ следи $a\ne 0$ и $b \ne 0$.

Неједнакости

Реалан број $a$ може бити позитиван ($a > 0$), негативан ($a < 0$) или једнак нули ($a = 0$).

Реални број $a$ је већи од реалног броја $b\left( {a > b,b < a} \right)$, ако је $a = b + x$, где је $x$ позитиван реалан број.

Неке особине неједнакости:

  1. из $a > b$ следи $a + c > b + c,$ $$ac > bc, \text{ ако је } c > 0 \text{ и }$$ $$ac < bc, \text{ ако је } c < 0.$$
  2. из $a > b \text{ следи } \frac{1}{a} < \frac{1}{b}, \text{ ако је } ab > 0 \text{ и }$ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}, \text{ ако је } ab < 0,$
  3. из $a \ge b$ и $b \ge c$ следи $a \ge c$,
  4. из $a \le A$ и $b \le B$ следи $a + b \le A + B,{\rm{ }}A,B \in \mathbb{R}$


Апсолутна вредност

Апсолутна вредност $\left| a \right|$ реалног броја $a$ је $a$, ако је $a \ge 0$, односно $- a$ ако је $a < 0$ , тј.

$\left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a,{\text{ }}a \geqslant 0,} \\
{ - a,{\text{ }}a < 0.}
\end{array}} \right.$

Неке особине апсолутне вредности:

  1. $\left| a \right| \ge 0$
  2. $\left| a \right| = 0$ ако и само ако је $a=0$,
  3. $\left| {\left| a \right| - \left| b \right|} \right| \le \left| {a \pm b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$,
  4. $\left| {ab} \right| = \left| a \right|\left| b \right|$,
  5. $\left| {\frac{a}{b}} \right| = \left| {\frac{a}{b}} \right|$ ако је $b \ne 0$,
  6. из $\left| a \right| \le A$ и $\left| b \right| \le B$ следи $\left| {a + b} \right| \le A + B$ и $\left| {ab} \right| \le AB,{\rm{ A}}{\rm{,B}} \in \mathbb{R}$,
  7. из $\left| a \right| \le \left| b \right|$ следи ${a^2} \le {b^2}$ и обрнуто.