Аритметика и алгебра

Степени, корени и логаритми

Степен чији је изложилац цео број

Степен чији је изложилац цео број дефинише се на следећи начин:

  1. ${a^1} = a, \text{ } {a^{m + 1}} = {a^m} \cdot a$, за $m \in \mathbb{N}$, и $a \in \mathbb{R},$
  2. ${a^0} = 1,{\text{ }}a \ne 0,$
  3. ${a^{ - m}} = \frac{1}{{{a^m}}}$ за $m \in \mathbb{N}$ и $a \ne 0.$

 

Неке особине степена

Ако је $a,b \in \mathbb{R}$, $a > 0,b > 0$ и $p,q \in \mathbb{Z},$ онда важи:

  1. ${a^p} \cdot {a^q}{\rm{ = }}{a^{p + q}},$
  2. ${\left( {{a^p}} \right)^q} = {a^{pq}},$
  3. ${a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}},$
  4. $\frac{{{a^p}}}{{{a^q}}} = {a^{p-q}},$
  5. ${\left( {ab} \right)^p} = {a^p}{b^p},$
  6. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^p} = \frac{{{a^p}}}{{{b^p}}}.$

 

Аритметички $n$-ти корен

Нека је $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$ и $n \in \mathbb{N}.$

Јединствено позитивно решење једначине ${x^n} = a$ је аритметички $n$-ти корен, који се означава са ${a^{\frac{1}{n}}}$ или са $\sqrt[n]{a}$.

За $a = 0$ је ${0^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{0} = 0$.

Ако је $a < 0$, онда се аритметички $n$-ти корен дефинише само за непарно $n \in \mathbb{N}$. У том случају је ${a^{\frac{1}{n}}}$, односно $\sqrt[n]{a}$, јединствено негативно решење једначине ${x^n} = a$.

Ако је $n = 2$, онда се $\sqrt[2]{a}$, означава се са $\sqrt a$.

Непосредна последица дефиниције $n$-тог аритметичког корена је:

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a,{\text{ }} {\text{ }}{\text{ ако је }} n {\text{ }}{\text{непаран број.}}}\\ {\left| a \right|,{\text{ }}{\text{ }}{\text{ ако је } n {\text{ паран број.}}}} \end{array}} \right.$ 



Неке особине корена

Ако је $a,b \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $m,n \in \mathbb{N}$ онда важи:

  1. $\sqrt[{nm}]{{{a^m}}} = \sqrt[n]{a}$,
  2. ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m}$,
  3. $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}$,
  4. $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$,
  5. $\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}},{\rm{ }}b \ne 0$.

  6. Рационалисање имениоца

    Ако је $a,b,c \in \mathbb{R}$, $a > 0, b > 0, c > 0,$ и $n \in \mathbb{N},$ онда важи:

    1. $\frac{a}{{\sqrt b }} = \frac{a}{b}\sqrt b$,
    2. $\frac{a}{{\sqrt[n]{b}}} = \frac{a}{b}\sqrt[n]{{{b^{n - 1}}}}$,
    3. $\frac{a}{{\sqrt b \pm \sqrt c }} = \frac{a}{{b - c}}(\sqrt b \mp \sqrt c ),b \ne c$,
    4. $\frac{a}{{\sqrt {b + \sqrt c } }} = \frac{a}{{{b^2} - c}}\sqrt {\left( {{b^2} - c} \right)\left( {b - \sqrt c } \right)},b^2 \ne c$,
    5. $\frac{a}{{\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c}}} = \frac{a}{{b \pm c}}\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}} \right),b \ne c$.


    Логаритми

    Логаритам броја $a > 0$ за основу $c > 0,c \ne 1$, је јединствено решење једначине ${c^x} = a$ и означава се са ${\log _c}a$.

    Из дефиниције логаритама непосредно следи да је:

    1. ${c^{{{\log }_c}a}} = a$,
    2. ${\log _c}c = 1$,
    3. ${\log _c}{c^p} = p,{\rm{ }}p \in \mathbb{R}$,
    4. ${\log _c}1 = 0$.


    Неке особине логаритама

    Ако су $c,d,x$ и $y$ позитивни реални бројеви и $c \ne 1, d \ne 1$ а $n$ природан број и $p$ реалан број различит од нуле, онда важи:

    1. ${\log _c}xy = {\log _c}x + {\log _c}y$,
    2. ${\log _c}\frac{x}{y} = {\log _c}x - {\log _c}y$,
    3. ${\log _c}{x^p} = p{\log _c}x$,
    4. ${\log _c}\left( {\sqrt[n]{x}} \right) = \frac{1}{n}{\log _c}x$,
    5. ${\log _c}d = \frac{1}{{{{\log }_d}c}}$,
    6. ${\log _d}x = \frac{{{{\log }_c}x}}{{{{\log }_c}d}} = {\log _c}x \cdot {\log _d}c$,
    7. ${\log _{{c^p}}}x = \frac{1}{p} \cdot {\log _c}x$,
    8. ${\log _c}x = {\log _{{c^p}}}{x^p}$


    Декадни логаритам је логаритам са основом 10, а природни логаритам је логаритам са основом

    $e = 2.718{\rm{ 281 828}}...$


    Декадни логаритам позитивног реалног броја $x$ означава се са ${\log x}$ а природни логаритам истог броја са $\ln x$.

    Веза ова два логаритма је дата са:

    $\ln x = \frac{{\log {\rm{ }}x}}{{\log {\rm{ }}e}} = 1n10 \cdot \log {\rm{ }}x = \left( {2.30259...} \right)\log {\rm{ }}x,$

    $\log {\rm{ }}x = \frac{{1n{\rm{ }}x}}{{1n{\rm{ 10}}}} = \log {\rm{ }}e \cdot {\rm{ln }}x = \left( {0.43429...} \right)\ln {\rm{ }}x.$