Диференцијални рачун

Екстремуми функције

Нека је функција дефинисана на $\left( {a,b} \right)$ и нека је ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$. Вредност $f\left( {{x_0}} \right)$ је локални максимум (минимум) функције ако и само ако постоји околина $U\left( {{x_0}} \right) \subset \left( {a,b} \right)$, таква да важи

$f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right),{\text{   }}\left( {f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)} \right)$, за свако $x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$

 

Потребан услов за постојање екстремума

Нека је функција $f$ дефинисана у тачки ${x_0}$. Ако је $f\left( {{x_0}} \right)$ локални екстремум функције $f$, онда функција $f$ у тој тачки или нема извод или је $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$.

 

Довољни услов за постојање екстремума

  1. Нека је функција $f$ дифернцијабилна за свако $x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ и нека је дефинисана у тачки ${x_0}$. Ако је

    $f'\left( {{x_0}} \right){\text{  >  }}0$, за $x < {x_0}$,

    $f'\left( {{x_0}} \right){\text{  <  }}0$, за $x > {x_0}$,

    онда је ${x_0}$ тачка строгог максимума функције $f$.
    Ако је 

    $f'\left( {{x_0}} \right){\text{  <  }}0$, за $x < {x_0}$,

    $f'\left( {{x_0}} \right){\text{  >  }}0$, за $x > {x_0}$,

    онда је ${x_0}$ тачка строгог минимума.
  2. Ако је фукција $f$ двапут непрекидно диференцијабилна у околини $U\left( {{x_0}} \right)$ и ако је

    $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ и $f''\left( {{x_0}} \right) > 0{\text{ }}\left( {f''\left( x \right) < 0} \right)$, 

    онда функција $f$ има у тачки ${x_0}$ локални минимум (максимум).
  3. Нека је функција  $f$ $n$-пута непрекидно диференцијабилна у околини $U\left( {{x_0}} \right)$ и нека је 

    ${f^{\left( k \right)}}\left( {{x_0}} \right) = 0,{\text{ }}k = 1,2,....n - 1$, и ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0$.

    Ако је $n$ парно , тада функција $f$ у тачки ${x_0}$ има минимум ако је ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) > 0$, а максимум ако је ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) < 0$.