Диференцијални рачун

Монотоност и конвексност функција

Монотоност

Функција $f$, диференцијабилна на $\left[ {a,b} \right]$, расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када је $f'\left( x \right) \geqslant 0{\text{    }}\left( {f'\left( x \right) \leqslant 0} \right)$ за све $x \in \left( {a,b} \right)$.

Ако при том не постоји интервал $\left( {\alpha ,\beta } \right) \subset \left( {a,b} \right)$, таква да је $f'\left( x \right) = 0,{\text{ }}x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$, онда функција $f$ строго расте (опада).

 

Конвексност и конкавност

Нека је $f$ диференцијабилна функција на $\left( {a,b} \right)$.

Каже се да је $f$ конвексна, односно строго конвексна $\left( {a,b} \right)$, ако за свако ${x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right),{\text{  }}{x_1} \ne {x_2}$ важи

$f\left( {{x_2}} \right) \geqslant f\left( {{x_1}} \right) + f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right),$

односно

$f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right).$

Нека је $f$ диференцијабилна функција на $\left( {a,b} \right)$. Каже се да је она конкавна, односно строго конкавна на $\left( {a,b} \right)$ ако за свако ${x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right),{\text{  }}{x_1} \ne {x_2}$ важи

$f\left( {{x_2}} \right) \leqslant f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right),$

односно

$f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right).$

 

Критеријуми конвексности

  1. Функција која је диференцијабилна на $\left( {a,b} \right)$ је конвексна (конкавна) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када $f'\left( x \right)$ расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$. Функција $f$ је строго конвексна (конкавна) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када $f'$   строго расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$.
  2. Двапут диференцијабилна функција $f$ је конвексна (конкавна) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када је $f''\left( x \right) \geqslant 0{\text{   }}\left( {f''\left( x \right) \leqslant 0} \right)$ за $x \in \left( {a,b} \right)$.