Диференцијални рачун

Основне теореме диференцијалног рачуна

Ролова теорема

Нека је функција $f$ непрекидна на $\left[ {a,b} \right]$ и диференцијабилна на $\left( {a,b} \right)$. Ако је $f\left( a \right) = f\left( b \right)$, онда постоји бар једна тачка ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$, таква да је 

$f'\left( {{x_0}} \right) = 0$.

 

Лагранжова теорема

Нека је функција $f$ непрекидна на $\left[ {a,b} \right]$ и диференцијабилна на $\left( {a,b} \right)$. Онда постоји бар једна тачка ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$, таква да је 

$f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$.

 

Други облик Лагранжове теореме

Са

$h = b - a$ и $r = \frac{{{x_0} - a}}{h}$

Лагранжова теорема даје

$f\left( {a + h} \right) = f\left( a \right) + hf'\left( {a = rh} \right),{\text{   }}r \in \left( {0,1} \right)$ .

 

Кошијева теорема

Нека су функције су функције $f$ и $g$ непрекидне на $\left[ {a,b} \right]$, диференцијадилне на $\left( {a,b} \right)$ и нека је $g'\left( x \right) \ne 0$ за $x \in \left( {a,b} \right)$. Тада постоји бар једна тачка ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$, таква да је 

$\frac{{f`\left( {{x_0}} \right)}}{{g`\left( {{x_0}} \right)}} = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}}.$

 

Тејлорова формула

Нека је функција $f$ $n+1$-пута диференцијабилна на интервалу $\left( {a - b,a + b} \right),b > 0$. Онда за све $x,{x_0} \in \left( {a - b,a + b} \right)$ важи

$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f`\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f``\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^n} + {R_n}\left( x \right),$

где је

${R_n}\left( x \right) = \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( {{x_0} + \tau \left( {x - {x_0}} \right)} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^{n + 1}},\tau  \in \left( {0,1} \right).$

Други облик Тејлерове формуле

Нека је $f \in {C^{n + 1}}\left[ {a,b} \right]$ и нека је ${f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( x \right)$ постоји за  $x \in \left[ {a,b} \right]$. Тада постоји $\tau  \in \left( {a,b} \right)$ такво да је 

$f\left( b \right) = f\left( a \right) + f`\left( a \right)\left( {b - a} \right) + \frac{{{f^n}\left( a \right)}}{{2!}}{\left( {b - a} \right)^2} + ... + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)}}{{n!}}{\left( {b - a} \right)^n} + \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \tau  \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{\left( {b - a} \right)^{n + 1}}$.

 

Маклоренова формула

Маклоренова формула је специјалан случај Тејлорове формуле. 

Нека је $f \in {C^{n + 1}}\left[ {a,b} \right]$ и нека је $0 \in \left[ {a,b} \right]$. Тада је за свако $x \in \left[ {a,b} \right]$ постоји $\tau  \in \left( {a,b} \right)$ такво да је

$f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + f`\left( 0 \right)x + \frac{{f``\left( 0 \right)}}{{2!}}{x^2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)}}{{n!}}{x^n} + \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \tau  \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{x^{n + 1}}.$