Диференцијални рачун

Превојне тачке

Нека је функција $f$ диференцијабилна у околини $U\left( {{x_0}} \right)$. Ако је ${x_0}$ истовремено крај интервала на којем је функција конвексна (конкавна) и и почетак интервала на којем је конкавна (конвексна), онда се ${x_0}$ назива тачка превоја функције $f$

Превојна тачка функције $f$ је тачка $\left( {{x_{0,}}f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

Тачка ${x_0}$ је тачка превоја функције $f$ тада и само тада када функција $f'$ у тачки ${x_0}$ има локални екстремум.

 

Потребан услов за постојање превојне тачке

Ако је ${x_0}$ тачка превоја функције $f$, онда или $f''\left( {{x_0}} \right)$ не постоји или је $f''\left( {{x_0}} \right) = 0$.

 

Довољан услов за постојање превојне тачке

  1. Нека је функција $f$ диференцијабилна у тачки $x_0$ и два пута диференцијабилна за ${x_0} \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$. Ако је за $x \in U\left( {{x_0}} \right)$

    $f''\left( x \right) < 0$, за $x < {x_0}$, и $f''\left( x \right) > 0$, за $x > {x_0}$,

    или

    $f''\left( x \right) > 0$, за $x < {x_0}$, и $f''\left( x \right) < 0$, за $x > {x_0}$,

    онда је $x_0$ тачка превоја функције $f$.
  2. Нека је функција $f$ $n$-пута непрекидно диференцијабилна у околини $U\left( {{x_0}} \right)$, при чему је $n \geqslant 3$ непаран број и 

    ${f^{\left( k \right)}}\left( {{x_0}} \right) = 0,k = 1,2,...n - 1$, и $f''\left( {{x_0}} \right) \ne 0$

    Онда је тачка $x_0$ тачка превоја функције $f$.

 

Једначина тангенте и нормале на криву

Једначина тангенте и нормале на криву $f$ у тачки ${x_0}$ је 

$y = f\left( {{x_0}} \right) + f`\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$.

Једначина нормале на криву $f$ у тачки ${x_0}$ је

$y = f\left( {{x_0}} \right) - \frac{1}{{f`\left( {{x_0}} \right)}}\left( {x - {x_0}} \right)$.