Диференцијални рачун

Први извод

Нека је $f:\left( {a,b} \right) \subseteq R \to R$ и ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$. Функција $f$ је диференцијабилна у тачки ${x_0}$, ако постоји гранична вредност

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}.$$

Ова гранична вредност се зове извод $f$ у тачки ${x_0}$ и означава са  $$f'(x_0),\quad \frac{d}{dx}f(x_0),\quad \frac{df}{dx}|_{x=x_0}.$$

Функција $f$ је диференцијабилна здесна (слева) у тачки $x_0$, ако постоји гранична вредност

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}{\text{    }}\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}} \right).$$

 

Ова гранична вредност се назива извод здесна (слева) функције $f$ у тачки ${x_0}$ и означава са $f_ {+}'\left( {{x_0}} \right){\text{ }}\left( {f_ {-}'\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

Ако постоји $f'\left( {{x_0}} \right)$ онда је функција $f$ диференцијабилна и здесна и слева у тачки ${x_0}$ и важи 

$f'\left( {{x_0}} \right) = f'_+\left( {{x_0}} \right) = f'_-\left( {{x_0}} \right)$.

Ако постоје $f'_+\left( {{x_0}} \right)$ и $f'_-\left( {{x_0}} \right)$ и ако је $f'_+\left( {{x_0}} \right) = f'_-\left( {{x_0}} \right)$, онда постоји $f'\left( {{x_0}} \right) = f'_ +\left( {{x_0}} \right) = f'_ - \left( {{x_0}} \right)$

Функција је диференцијабилна на интервалу $D$, ако је диферецијабилна у свакој тачки тог интервала. Ако је $D = \left[ {a,b} \right]$, функција мора бити диференцијабилна и у тачки $a$ здесна, и у тачки $b$ слева. Каже се да је функција диференцијабилна, ако је диференцијабилна на свом домену $D\left( f \right)$.

Функција је диференцијабилна у околини $U\left( {{x_0}} \right)$ тачке ${x_0}$, ако је диференцијабилна у свакој тачки те околине.