Геометрија

Троугао

Збир две странице у троуглу већи је од треће сранице, а разлика две странице у троуглу мања је од треће странице

$a + b > c,{\rm{      }}a - b < c$.

Збир унутрашњих углова у троуглу је $\alpha  + \beta  + \gamma  = 180^\circ $, а збир спољашњих углова је ${\alpha _1} + {\beta _1} + {\gamma _1} = 360^\circ $.

Спољашњи угао једног угла троугла једнак је збиру остала два угла троугла, тј. ${\alpha _1} = \beta  + \gamma $.

trougao1
 

 

Четири значајне тачке троугла

Тежиште

Тежишна линија  (медијана) троугла, у ознаци $t_a,t_b,t_c$, је дуж одређена теменом троугла и средином наспрамне странице.
Тежишне линије троугла секу се у једној тачки, тачки Т коју називамо тежиште троугла, и подељене су том тачком у односу 2:1 (посматрајући од темена).

$AT:AT_1=2:1$, $BT:BT_1=2:1$, $CT:TC_1=2:1$

 teziste trougla

Дужина тежишне дужи ${t_a}$ која одговара страници $a$ је

$${t_a} = \frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}{2}$$

 

Центар уписане кружнице

Симетрала угла троугла је права која полови унутрашњи угао троугла. Симетрале углова троугла $s_a,s_b$ и $s_c$ секу се у једној тачки, центру уписане кружнице, тачки $S$.

centar upisane kruznice
Дужина одсечка симетрале угла $\alpha $, одређеног теменом и тачком пресека те симетрале и наспрамне странице, је

$${l_\alpha } = \frac{{\sqrt {bc\left( {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right)} }}{{b + c}}$$

Полупречник кружнице уписане у троугао је

$$r_u = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)}}{p},} {\rm{    }}s = \frac{{a + b + c}}{2}$$


Ортоцентар

Висина троугла је дуж одређена теменом троугла и подножјем нормале спуштене из тог темена на наспрамну страницу троугла.

Висине троугла секу се у једној тачки, ортоцентру.

Дужина висине која одговара страници $a$ је 

${h_c} = a\sin \beta  = b\sin \alpha $.

ortocentar

Центар описане кружнице

Симетрала странице троугла је права нормална на страницу троугла у њеној средишњој тачки.

Симетрале страница троугла $s_a,s_b$ и $s_c$ секу се у једној тачки, центру описане кружнице, тачки $O$.

centar opisane kruznice2

Полупречник кружнице описане око троугла је  

$$r_o= \frac{{a + b + c}}{{8\cos \frac{a}{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}}.$$

Ако је троугао једнакокрак, онда је висина, тежишна линија, симетрала угла и симетрала странице, спуштене на основицу троугла, поклапају па се и све значајне тачке троугла налазе на тој прави.

Код једнакостраничног троугла $\left( {a = b = c} \right)$ центри уписане и описане кружнице, тежиште и ортоцентар се поклапају.

 

Средња линија троугла

Средња линија троугла је дуж одређена срединама двеју страница троугла. Она је паралелана трећој страници троугла и једнака половини њене дужине.

$MN||AB$ и $MN=\frac{AB}{2}$

srednja linija trougla

Обим и површина троугла

Обим $O$ и површина $P$ троугла су 

$O = a + b + c$,

$$P = \frac{{a{h_a}}}{2} = rs = \frac{{abc}}{{4R}}.$$

Херонова формула 

$P = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} ,{\rm{   }}s = \frac{{a + b + c}}{2}$


Подударност троуглова

Троуглови $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ су подударни, у ознаци $\Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ ако и само ако је 

$AB = {A_1}{B_1}, BC = {B_1}{C_1}, CA = {C_1}{A_1}$

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}, {\text{   }}\measuredangle B = \measuredangle {B_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$

podudarnost trouglova

Први став (ССС)

Ако су све странице странице једнаке одговарајућим страницама другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AB = {A_1}{B_1},{\rm{  }}BC = {B_1}{C_1},{\quad}и{\quad}CA = {C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

sss1

Други став (СУС)

Ако су две странице једног троугла једнаки двема страницама и захваћеном углу другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AB = {A_1}{B_1}{\rm{  }}AC = {A_1}{C_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle {A} = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.

sus1
 

Трећи став (УСУ)

Ако су страница и на њу налегли углови једног троугла једнаки страници и на њу налеглим угловима другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AB = {A_1}{B_1}, \measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

usu1
 

Четврти став (ССУ)

Ако су две странице и угао наспрам веће од њих једног троугла једнаки двема страницама и углу наспарам веће од њих другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AC = {A_1}{C_1}, BC = {B_1}{C_1}, BC > AC,{\quad}и{\quad}\measuredangle A = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.

ssu1

Сличност троуглова

Троуглови $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ су слични, у ознаци $\Delta ABC \sim \Delta{A_1}{B_1}{C_1}$, ако и само ако је 

$\measuredangle A = \measuredangle A, \measuredangle B = \measuredangle {B_1},{\text{ }}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$,

и

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1}$

slicnost trouglova

Први став

Ако су два угла једног троугла једнака сa два угла другог троугла, онда су ти троуглови слични

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и $\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

prvi stav slicnosti

Други став

Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема старницама другог троугла и углови између тих страница једнаки, онда су ти троуглови слични

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}AB:{A_1}{B_1} = AC:{A_1}{C_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

drugi stav slicnosti

Трећи став

Ако су три странице једног троугла пропорционалне трима страницама другог троугла, онда су ти троуглови слични

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

treci stav slicnosti 

Четврти став

Ако су две странице једног троугла пропорционалне са одговарајућим страницама другог троугла, углови наспрам двеју од тих одговарајућих страница једнаки, а наспрам других двеју страница су углови исте врсте, тј. Оба угла су или оштра, или права или тупа, онда су ти троуглови слични 

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1}$ и $\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и 

$\measuredangle C{\text{ }}$ и ${\text{ }}\measuredangle {C_1}$ су исте врсте $ \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

cetvrti stav slicnosti


Правоугли троугао

Нека су $a$ и $b$ катете, а $c$ хипотенуза правоуглог троугла. Важи

Питагорина теорема

${a^2} + {b^2} = {c^2}$

Ако је $h$ висина која одговара хипотенузи, $p$ и $q$ нормалне пријекције катета $a$ и $b$ на хипотенузу $(p+q=c)$, онда је 

${h^2} = pq,\quad{a^2} = pc,\quad{b^2} = qc$

pravougli trougao1

Дефиниције тригонометријских функција у правом троуглу

Тригонометријске функције дефинисане су у правоуглом троуглу.

Притом,

$\sin$ (синус) представља однос наспрамне катете и хипотенузе,

$\cos$ (косинус) је однос налегле катете и хипотенузе,

${\text{tg}}$ (тангенс) однос наспрамне и налегле катете, а

${\text{ctg}}$ (котангенс) однос налегле и наспрамне катете.

Нека су $a$ и $b$ катете, $c$ хипотенуза , а $\alpha $ и $\beta $ углови који одговарају катетама $a$ и $b$. Тада важи

$$\alpha  + \beta  = {90^ \circ }$$

$$\sin \alpha  = \cos \beta  = \frac{a}{c}$$

$$\cos \alpha  = \sin \beta  = \frac{b}{c},$$

$${\text{tg}}\alpha  = {\text{ctg}}\beta  = \frac{a}{b}$$

$${\text{ctg}}\alpha  = {\text{tg}}\beta {\text{ = }}\frac{b}{a}.$$

 

Површина правоуглог троугла

$$P = \frac{{ab}}{2} =\frac{ch_c}{2}= \frac{{{a^2}tg\beta }}{2} = \frac{{{c^2}\sin 2\beta }}{4}$$

Полупречник описане кружнице $r_o=\frac{c}{2}$


Једнакостранични троугао

Једнакостраничан тругао је троугао чије су све странице једнаке. Па су и сви углови овог троугла једнаки и једнаки $60^{\circ}.$

Обим: $O = 3a$

Код једнакостраничног троугла све четири значајне тачке се поклапају, па важи: ${s_a} = {s_\alpha } = h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Полупречник уписане кружнице: $r_u=\frac{1}{3}h= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Полупречник описане кружнице: $r_o =\frac{2}{3}h= \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Површина: $P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

jednakostranicni trougao1

Једнакокраки троугао

Једнакокраки троугао је троугао чије су две странице једнаке. Те странице називамо краци једнакокраког троугла, док трећу страницу називамо основицом. Како овај троугао има две једнаке странице има и два једнака угла, углови на основици.

jednakokraki trougao

Важи Питагорина теорема: $b^2=h_a^2+(\frac{a}{2})^2$

Обим: $O=a+2b$

Површина: $P=\frac{a \cdot h_a}{2}=\frac{b \cdot h_b}{2}$

$\sin\alpha=\frac{h_a}{b} \Rightarrow h_a=b \sin\alpha$

$P=\frac{ab\sin\alpha}{2}$

 


Разностраничан троугао

Нека су $a$, $b$ и $c$ странице, а $\alpha $, $\beta$ и $\gamma $ oдговарајући углови разностраничног троугла. Полуобим је $s = \frac{{a + b + c}}{2}$, полупречник описане кружнице $r_o$, а полупречник уписане кружнице $r_u$.

trougao2

$O=a+b+c$

$P=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$

$\sin \alpha=\frac{h_c}{b} \Rightarrow h_c=b\sin \alpha$

$P=\frac{bc\sin\alpha}{2}=\frac{ab\sin\gamma}{2}=\frac{ac\sin\beta}{2}$

Херонов образац $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$P=s \cdot r_u$

$P=\frac{abc}{4r_o}$

 

Синусна теорема

$$\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} = 2r_o.$$

Примењујемо је за одређивање елемената троугла уколико су нам позната два угла троугла и страница    наспрам једног  од тих углова, или у случају када су нам познате две странице троугла и угао наспрам једне од њих.

Косинусна теорема

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha $

${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \beta $

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma $

Примењујемо је за одређивање елемената троугла уколико су нам познате две странице и угао који је њима захваћен, или у случају када су нам познате све странице троугла.

Тангентна теорема

$$\frac{{a - b}}{{a + b}} = \frac{{tg\frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{tg\frac{{\alpha  + \beta }}{2}}} = \frac{{tg\frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{ctg\frac{\gamma }{2}}}$$

 

Теорема о половини угла

$$tg\frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)}}{{s\left( {s - c} \right)}},} $$

$$\sin \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)}}{{ab}},} $$

$$\cos \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{s\left( {s - c} \right)}}{{ab}}.} $$

 

Формула Молвајдеа

$$\frac{{a + b}}{c} = \frac{{\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{cos\frac{{\alpha  + \beta }}{2}}},$$

$$\frac{{a - b}}{c} = \frac{{\sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{\cos \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}}}.$$


Теорема о пројекцијама

$c = a\cos \beta  + b\cos \alpha $

 

Остале формуле

$$r_o = \frac{s}{{4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}},{\text{   }}s = \frac{{a + b + c}}{2},$$

$$r_u = stg\frac{\alpha }{2}tg\frac{\beta }{2}tg\frac{\gamma }{2},$$

 

$$r_u = 4r_o\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2},$$

 

$$r_u = \left( {s - c} \right)tg\frac{\gamma }{2},$$

 

$${h_c} = a\sin \beta  + b\sin \alpha ,$$

 

$${m_c} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab\cos \gamma } }}{2},$$

 

$${l_\gamma } = \frac{{2ac\cos \frac{\beta }{2}}}{{a + b}} = \frac{{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}}{{b + c}},$$

 

$$P = \frac{{ab\sin \gamma }}{2},\quad P = 2{r_o^2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$

 

$$P = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \gamma }} = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}.$$