Низови, математичка индукција и комбинаторика

Низови

Пресликавање $a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ се зове бројевни низ, или кратко, низ.

Уместо $a\left( n \right)$ најчешће се пише ${a_n}$, што представља општи члан низа.

Низ чији је општи члан ${a_n}$, обележава се са $\left\{ {{a_n}} \right\}$.

 

Ограниченост

Низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ је ограничен ако постоји број $K \in \mathbb{R}$, такав да је $|{a_n}| \leqslant K$ за све $n \in \mathbb{N}$.

 

Конвергенција

Број $a$ је гранична вредност низа $\left\{ {{a_n}} \right\}$, ако за свако $\varepsilon  > 0$ постоји ${n_0} \in \mathbb{N}$ (које зависи од $\varepsilon $, што се записује са ${n_0} = {n_0}\left( \varepsilon  \right)$, такво да је

$|{a_n} - a| < \varepsilon ,\quad n \geqslant {n_0}.$

Ако низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ има граничну вредност $a$ каже се да низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ конвергира са $a$ , што се записује

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a.$

За низ који има граничну вредност каже се да је конвергентан.

 

Монотоност

Низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ се назива растући (неопадајући) ако је

${a_{n + 1}} \geqslant {a_n},\quad n \in \mathbb{N}.$

 

Низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ се назива строго растући ако је

${a_{n - 1}} > {a_n},\quad n \in \mathbb{N}.$

 

Низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ се назива опадајући (нерастући) ако је

${a_{n + 1}} \leqslant {a_n},\quad n \in \mathbb{N}.$

 

Низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ се назива строго опадајући ако је

${a_{n + 1}} < {a_n} \quad n \in \mathbb{N}.$

 

Растући или опадајући низови називају се монотони низови.

 

Теореме о низовима

  1. Сваки конвергентан низ је ограничен.
  2. Монотони низ је конвергентан тада и само тада када је ограничен.
  3. Низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ је конвергентан ако и само ако за свако $\varepsilon  > 0$ постоји ${n_0} = {n_0}\left( \varepsilon  \right) \in \mathbb{N}$ , такво да је
    $\left| {{a_n} - {a_m}} \right| < \varepsilon ,\quad m \geqslant {n_{0,}}n \geqslant {n_0}.$ 
  4. Нека су низови $\left\{ {{a_n}} \right\}$ и $\left\{ {{b_n}} \right\}$ конвергентни са границама $a$ и $b$, тј.
    $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a,{\text{  }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = b$
    Тада за $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}$ важи
    $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\alpha {a_n} + \beta {b_n}} \right) = \alpha a + \beta b,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}{b_n}} \right) = ab$
    Ако је, поред тога, $b \ne 0$ и ${b_n} \ne 0$, за $n \geqslant {n_0} \in \mathbb{N}$, онда је
    $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{a}{b}$
  5. Ако је $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a$, онда је $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = \left| a \right|$.
  6. Ако је низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ ограничен,а низ $\left\{ {{b_n}} \right\}$ конвергира ка 0, онда низ $\left\{ {{a_n}{b_n}} \right\}$ конвергира ка 0.
  7. Ако за низ $\left\{ {{a_n}} \right\}$ важи $k \leqslant {a_n} \leqslant K$ и ако је $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a$, онда је $k \leqslant a \leqslant K$.
  8. Нека су низови $\left\{ {{a_n}} \right\}$ и $\left\{ {{b_n}} \right\}$ конвергентни са границама $a$ и $b$ и нека је${a_n} \leqslant {b_n}$, за $n \geqslant {n_0} \in \mathbb{N}$. Онда је 
    $a \leqslant b$
  9. Нека су низови $\left\{ {{a_n}} \right\}$ и $\left\{ {{b_n}} \right\}$ конвергентни са истом граничном вредношћу $\alpha $. Ако за низ $\left\{ {{c_n}} \right\}$ важи ${a_n} \leqslant {c_n} \leqslant {b_n}$, за $n \geqslant {n_0} \in \mathbb{N}$.
    Онда је низ $\left\{ {{c_n}} \right\}$ конвергентан са граничном вредношћу $\alpha $.

 

Аритметички низ

Коначан низ ${a_1},{a_2},{a_3},...,{a_k},...,{a_n}$, назива се аритметички ако је разлика његових суседних чланова констаната, односно

${a_k} - {a_{k - 1}} = d, \quad k = 2,3,...,n.$

Број $d$ је разлика или диференција аритметичког низа. Чланови низа су облика

${a_k} = {a_1} + \left( {k - 1} \right)d, \quad k = 2,3,...,n.$

Збир ${S_k}$ првих $k$ чланова аритметичког низа износи

${S_k} = \frac{k}{2}\left( {{a_1} + {a_k}} \right) = \frac{k}{2}\left[ {2{a_1} = \left( {k - 1} \right)d} \right]$, $k = 1,2,...,n$ 


Геометријски низ

Коначан низ ${b_1},{b_2},...,{b_k},...{b_n}$ назива се геометријски ако је количник његових суседних чланова константан, односно

${b_k}:{b_{k - 1}} = q \ne 0$, $k = 2,3,...,n.$

Број $q$ назива се количник геометријског низа. Чланови низа су облика

${b_k} = {b_1}{q^{k - 1}},$, $k = 2,3,...,n.$

Збир ${S_k}$ првих $k$ чланова геометријског низа износи

${S_k} = {b_1}\frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}$, $q \ne 1,{\text{ }}k = 1,2,...,n$

Збир свих чланова бесконачног геометријског низа износи

$S = {b_1} + {b_1}{q^2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {b_1}{q^{n - 1}} +  \cdot  \cdot  \cdot  = \frac{{{b_1}}}{{1 - q}},{\text{   }}|q| < 1$

 

Број $e$

Гранична вредност низа $\left\{ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}$ је Ојлеров број $e$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e = 2.718{\text{ }}281{\text{ }}828{\text{ }}459...$

 

Бернулијева неједнакост

Ако је $1 + h > 0$, при чему је $h$ реалан број, онда је

 $\left( {1 + h} \right)^n \geqslant 1 + nh, \quad n \in \mathbb{N}.$