Арифметика и алгебра

Рациональные алгебраические выражения

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением или полиномом(многочленом). Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.

Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе нациваются рациональными.

Преобразование рациональных выражений

 $$A\left( {B + C} \right) = AB + AC,$$ $$A\left( {B - C} \right) = AB - AC,$$ $$\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + BC + AD + BD.$$

Формулы сокращенного умножения

Сумма и разность квадратов

$${A^2} + {B^2} = \left( {A + B - \sqrt {2AB} } \right)\left( {A + B + \sqrt {2AB} } \right),$$ $${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right).$$

Сумма и разность кубов

$${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right),$$ $${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right).$$

Сумма и разность $n$-ых степеней

Для $n \in \mathbb{N}$ справедливо

$${A^{2n}} + {B^{2n}} = \left( {{A^n} + {B^n} - \sqrt {2{A^n}{B^n}} } \right)\left( {{A^n} + {B^n} + \sqrt {2{A^n}{B^n}} } \right),$$ $${A^{2n}} - {B^{2n}} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^{2n - 1}} + {A^{2n - 2}}B + \cdot \cdot \cdot + A{B^{2n - 2}} + {B^{2n - 1}}} \right),$$ $${A^{2n - 1}} + {B^{2n - 1}} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^{2n - 2}} - {A^{2n - 3}}B + \cdot \cdot \cdot - A{B^{2n - 3}} + {B^{2n - 2}}} \right),$$ $${A^{2n - 1}} - {B^{2n - 1}} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^{2n - 2}} + {A^{2n - 3}}B + \cdot \cdot \cdot + A{B^{2n - 3}} + {B^{2n - 2}}} \right).$$

Квадрат бинома $${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2},$$ $${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}.$$

Куб бинома $${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3},$$ $${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}.$$

Квадрат тринома $${\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2AC + 2BC$$ 

Многочлен от одной переменной

Многочлен по переменной $x$ - функция $$P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0},$$ где $n$ - натуральное число или 0, а ${a_0},{a_1},...,{a_n}$ рациональные или комплексные числа.

Если ${a_n} \ne 0,$ то число $n$ называется степень многочлена $P\left( x \right)$, а про полином $P\left( x \right)$ говорят полином степени $n$ по $x$.

Если известна степень многочлена, пишут ${P_n}\left( x \right)$.

Если степень полинома равна 0, то он называется полиномом степени 0.

Члены полинома $P\left( x \right)$ - это выражения ${a_n}{x^n},{a_{n - 1}}{x^{n - 1}},...,{a_1}x,{a_0},$ где  ${a_0}$ свободный член. Числа ${a_0},{a_1},...,{a_{n - 1}},{a_n}$ -коэффициенты полинома,   ${a_n}$ - коэффициент при старшей степени .

Полином ${P_n}\left( x \right)$ называется действительным, если его коэффициенты -действительные числа. 

Далее будем говорить о действительных многочленах, а множество всех действительных многочленов, степень которых не превышает $n$ обозначим ${P_n}$.

Алгебраические уравнения n-й степени

Алгебраическим уравнением n-й степени называется уравнение вида $${P_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0.$$

Корень многочлена $$P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0},$$ - это элемент ${x_0}$, который после подстановки его вместо ${x}$обращает уравнение

$${P_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0$$

в тождество или $P\left( {{x_0}} \right) = 0$.

Если порядок полинома $n$ - нечётное число, то полином имеет по крайней мере одно действительное решение.

Если число $z \in \mathbb{C}$ - корень многочлена, то и ему комплексно сопряжённое число $\bar z$ - тоже корень многочлена.

Факторизация полинома

Факторизация полинома - представление данного полинома в виде произведения многочленов меньших степеней. Если ${x_1}$ - корень многочлена ${P_n}\left( x \right)$, тогда многочлен ${P_n}\left( x \right)$ делится на  многочлен $x - {x_1}$ и справедлмво: $${P_n}\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right){P_{n - 1}}\left( x \right)$$

Кратные корни полинома

Пусть ${x_1}$ - корень полинома ${P_n}\left( x \right)$ и пусть полиномы ${P_{n - 1}}\left( x \right),{P_{n - 2}}\left( x \right),...,{P_{n - k}}\left( x \right),k \le n,$ такие, что $${P_{n - i}}\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right){P_{n - i - 1}}\left( x \right),{\rm{ }}i = 0,1,2,...,k - 1.$$

Если ${x_1}$ - корень полиномов $${P_n}\left( x \right),{P_{n - 1}}\left( x \right),{P_{n - 2}}\left( x \right),...,{P_{n - k + 1}}\left( x \right),{\rm{ }}k \le n,$$ но не является корнем полинома ${P_{n - k}}\left( x \right),$ тогда ${x_1}$ -корень кратности $k$ полинома ${P_n}\left( x \right)$ и справедливо $${P_n}\left( x \right) = {\left( {x - {x_1}} \right)^k}{P_{n - k}}\left( x \right).$$

Если корни полинома ${P_n}\left( x \right)$ $${x_1}{x_2},...,{x_m}$$ и их кратности соответственно $${k_1},{k_2},...,{k_m},{\rm{ }}\sum\limits_{j = 1}^m {{k_j}} = n,$$ тогда $${P_n}\left( x \right) = {a_0}{\prod\limits_{j = 1}^m {\left( {x - {x_j}} \right)} ^{{k_j}}}.$$

Число корней многочлена с комплексными коэффициентами степени $n$, учитывая кратные корни кратное количество раз, равно $n$.

Равенство полиномов

Нуливым называется полином $P\left( x \right)$, если все его коэффициенты равны нолю.

Два полинома $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны, если они имееют равные значения для каждого$x$.

Полиномы $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициены при одинаковых степенях.

Формулы Виета

Если многочлен $${P_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_n}_{ - 1}{x^{n - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {a_1}x + {a_0}$$ имеет корни ${x_1},{x_2},....,{x_n},$ тогда $$ - \frac{{{a_n} - 1}}{{{a_n}}} = {x_1} + {x_2} + \cdot \cdot \cdot + {x_n},$$ $$\frac{{{a_n} - 2}}{{{a_n}}} = {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \cdot \cdot \cdot + {x_{n - 1}}{x_n},$$ $$:$$ $$:$$ $${\left( { - 1} \right)^k}\frac{{{a_n}_{ - k}}}{{{a_n}}} = {x_1}{x_2} \cdot \cdot \cdot {x_k} + \cdot \cdot \cdot + {x_{n - k + 1}}{x_{n - k + 2}} \cdot \cdot \cdot {x_n},$$ $$:$$ $${\left( { - 1} \right)^n}\frac{{{a_0}}}{{{a_n}}} = {x_1}{x_2} \cdot \cdot \cdot {x_n}.$$

Квадратное уравнение

Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа и $a \ne 0$. Уравнение вида $$a{x^2} + bx + c = 0$$ - называется квадратное уравнение.

Дискриминант кдадратного уравнения - это число $$D = {b^2} - 4ac.$$

$D$ решения
$D > 0$ два различных действительных решения ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$
$D = 0$ два равных действительных решения ${x_{1,2}} = \frac{{ - b}}{{2a}}$
$D < 0$ два комплексно сопряженных корня  ${x_{1,2}} = - \frac{b}{{2a}} \pm i\frac{{\sqrt {4ac - {b^2}} }}{{2a}}$

Теорема Виета

Числа ${x_1}$ и ${x_2}$ - решения квадратного уравнения тогда и только тогда, когда $${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \quadи\quad{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}.$$

Разложение на множители квадратного трёхчлена

Если ${x_1}$ и ${x_2}$ нули квадратного трёхчлена $a{x^2} + bx + c$, тогда его можно разложить на простые множители по формуле $$a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right).$$