Арифметика и алгебра

Степени, корни и логарифмы

Степени с целыми показателями

Степен чији је изложилац цео број

Формулы  свойства степеней с целыми показателями:

  1.  ${a^1} = a,    {a^{m + 1}} = {a^m} \cdot a$, для $m \in \mathbb{N}$, и $a \in \mathbb{R}$ 
  2.  ${a^0} = 1,   {\rm{ }}a \ne 0$ 
  3.  ${a^{ - m}} = \frac{1}{{{a^m}}}$ для $m \in \mathbb{N}$ и $a \ne 0$ 

Если $a,b \in \mathbb{R}$, $a > 0,b > 0$ и $p,q \in \mathbb{Z}$, тогда:

  1.  ${a^p} \cdot {a^q}{\rm{ = }}{a^{p + q}}$, 
  2.  ${\left( {{a^p}} \right)^q} = {a^{pq}}$, 
  3.  ${a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}}$, 
  4.  $\frac{{{a^p}}}{{{a^q}}} = {a^{p - q}}$, 
  5.  ${\left( {ab} \right)^p} = {a^p}{b^p}$, 
  6.  ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^p} = \frac{{{a^p}}}{{{b^p}}}$

Арифметический корень $n$-ой степени

Корень $n$-й степени из числа $a$ - это число $x$, $n$-ая степень которого равняется $a$, т.е. ${x^n} = a$.

Если $n$ - чётно, тогда:

  • если $a < 0$ корень $n$-й степени из числа $a$ неопределён,
  • если $a \ge 0$, то неотрицательный корень уравнения ${x^n} = a$ называется арифметическим корнем $n$-й степени из числа $a$ и обозначается  ${a^{\frac{1}{n}}}$ или  $\sqrt[n]{a}$.

Если $n$ - нечётно, тогда уравнение ${x^n} = a$ имеет единственный корень при любом $a$.

Если $n = 2$, тогда $\sqrt[2]{a}$, записывают $\sqrt a$.

$$\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a,{\rm{ }} {\rm{ }}{\rm{если \rm{ }\rm{ } n \rm{ } нечётное \rm{ } число.}}}\\ {\left| a \right|,{\rm{ }}{\rm{если  n  чётное число.}}} \end{array}} \right.$$

Свойства корня $n$-й степени

 Если $a,b \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$ и $m,n \in \mathbb{N}$ тогда справедливо:

  1. $\sqrt[{nm}]{{{a^m}}} = \sqrt[n]{a}$, 
  2. ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m}$, 
  3. $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}$, 
  4. $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ 
  5. $\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}},{\rm{ }}b \ne 0$

Если  $a,b,c \in \mathbb{R}$, $a > 0, b > 0$ и $n \in \mathbb{N}$ тогда справедливы следующие равенства:

  1. $\frac{a}{{\sqrt b }} = \frac{a}{b}\sqrt b$, 
  2. $\frac{a}{{\sqrt[n]{b}}} = \frac{a}{b}\sqrt[n]{{{b^{n - 1}}}}$, 
  3. $\frac{a}{{\sqrt {b \pm \sqrt c } }} = \frac{a}{{b - c}}(\sqrt b \mp \sqrt c ),b \ne c$, 
  4. $\frac{a}{{\sqrt {b + \sqrt c } }} = \frac{a}{{{b^2} - c}}\sqrt {\left( {{b^2} - c} \right)\left( {b - \sqrt c } \right),b \ne c}$, 
  5. $\frac{a}{{\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c}}} = \frac{a}{{b \pm c}}\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}} \right),b \ne c$

Логарифмы

Логарифмом  числа $a > 0$ по основанию $c > 0,c \ne 1$, называется такое число $x$, что ${c^x} = a$ и обозначается ${\log _c}a$.

Из определения логарифма непосредственно следует:

  1. ${c^{{{\log }_c}a}} = a$, 
  2. ${\log _c}c = 1$, 
  3. ${\log _c}{c^p} = p,{\rm{ }}p \in \mathbb{R}$, 
  4. ${\log _c}1 = 0$.

Свойства логарифма

Если $c,d,x$ и $y$ положительные действительные числа и $c \ne 1, d \ne 1$, а $n$ натуральное число и $p$ действительное число, отличнок от нуля, тогда:

  1. ${\log _c}xy = {\log _c}x + {\log _c}y$, 
  2. ${\log _c}\frac{x}{y} = {\log _c}x - {\log _c}y$, 
  3. ${\log _c}{x^p} = p{\log _c}x$, 
  4. ${\log _c}\left( {\sqrt[n]{x}} \right) = \frac{1}{n}{\log _c}x$, 
  5. ${\log _c}d = \frac{1}{{{{\log }_d}c}}$, 
  6. ${\log _d}x = \frac{{{{\log }_c}x}}{{{{\log }_c}d}} = {\log _c}x \cdot {\log _d}c$,
  7. ${\log _{{c^p}}}x = \frac{1}{p} \cdot {\log _c}x$, 
  8. ${\log _c}x = {\log _{{c^p}}}{x^p}$

Логарифм, взятый по основанию 10, называется - десятичный логарифм, и обозначается ${\log _{10}}x = {\lg}x$.

Логарифм, взятый по основанию $e = 2.718{\rm{ 281 828}}...$ называется натуральный логарифм, и обозначается ${\ln_e}x = {\ln}x$ . 

Связь десятичного и натурального логарифмов:

$$\ln x = \frac{{\log {\rm{ }}x}}{{\log {\rm{ }}e}} = 1n10 \cdot \log {\rm{ }}x = \left( {2.30259...} \right)\log {\rm{ }}x,$$ $$\log {\rm{ }}x = \frac{{1n{\rm{ }}x}}{{1n{\rm{ 10}}}} = \log {\rm{ }}e \cdot {\rm{ln }}x = \left( {0.43429...} \right)\ln {\rm{ }}x.$$