Експоненцијалне једначине 1

Решавање експоненцијалне једначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну једначину.

пр.1) ${27^x} = \frac{1}{9}$

пр.2) ${a^x} \cdot \sqrt a = {a^{\frac{3}{x}}}$ $a > 0$ , $a \ne 1$

пр.3) $0,125 \cdot {4^{2x - 3}} = {\left( {\frac{8}{{\sqrt 2 }}} \right)^x}$

пр.4) $0,{5^{ - 3}} \cdot 2 \cdot {8^{2x - 3}} = {\left( {\frac{{\sqrt[3]{2}}}{4}} \right)^{ - 2x}}$

Пр.1

$\begin{aligned}&{27^x} = \frac{1}{9} \\ &{\left( {{3^3}} \right)^x} = \frac{1}{{{3^2}}} \\ &{3^{3x}} = {3^{ - 2}} \\ &3x = - 2 \\ &x = - \frac{2}{3}\end{aligned}$

Пр.2

$\begin{aligned}&{a^x} \cdot \sqrt a = {a^{\frac{3}{x}}} \\ &a > 0 \\ &a \ne 1 \\ &{a^x} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{^{\frac{3}{x}}}} \\ &{a^{x + \frac{1}{2}}} = {a^{^{\frac{3}{x}}}} \\ &x + \frac{1}{2} = \frac{3}{x}\left| { \cdot 2x} \right. \\ &2{x^2} + x = 6 \\ &2{x^2} + x - 6 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {49} }}{4} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm 7}}{4} \\ &{x_1} = - 2,{x_2} = \frac{3}{2}\end{aligned}$

Пр.3

$\begin{aligned}&0,125 \cdot {4^{2x - 3}} = {\left( {\frac{8}{{\sqrt 2 }}} \right)^x} \\ &0,125 = \frac{{125}}{{1000}} = \frac{1}{8} \\ &\frac{1}{8} \cdot {4^{2x - 3}} = {\left( {\frac{8}{{\sqrt 2 }}} \right)^x} \\ &\frac{1}{{{2^3}}} \cdot {4^{2x - 3}} = {\left( {\frac{8}{{\sqrt 2 }}} \right)^x} \\ &{2^{ - 3}} \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{2x - 3}} = {\left( {\frac{{{2^3}}}{{{2^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^x} \\ &{2^{ - 3}} \cdot {2^{4x - 6}} = {\left( {{2^{3 - \frac{1}{2}}}} \right)^x} \\ &{2^{ - 3 + 4x - 6}} = {\left( {{2^{^{\frac{5}{2}}}}} \right)^x} \\ &{2^{4x - 9}} = {2^{\frac{5}{2}x}} \\ &4x - 9 = \frac{5}{2}x\left| { \cdot 2} \right. \\ &8x - 18 = 5x \\ &3x = 18 \\ &x = 6\end{aligned}$

Пр.4

$\begin{aligned}&{0,5^{ - 3}} \cdot 2 \cdot {8^{2x - 3}} = {\left( {\frac{{\sqrt[3]{2}}}{4}} \right)^{ - 2x}} \\ &{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} \cdot {2^1} \cdot {\left( {{2^3}} \right)^{2x - 3}} = {\left( {\frac{{{2^{\frac{1}{3}}}}}{{{2^2}}}} \right)^{ - 2x}} \\ &{2^3} \cdot {2^1} \cdot {2^{6x - 9}} = {\left( {{2^{\frac{1}{3} - 2}}} \right)^{ - 2x}} \\ &{2^{3 + 1 + 6x - 9}} = {\left( {{2^{ - \frac{5}{3}}}} \right)^{ - 2x}} \\ &{2^{6x - 5}} = {2^{\frac{{10}}{3}x}} \\ &6x - 5 = \frac{{10}}{3}x\left| { \cdot 3} \right. \\ &18x - 15 = 10x \\ &8x = 15 \\ &x = \frac{{15}}{8}\end{aligned}$

Најједноставније експоненцијалне једначине решавате свођењем обе стране на степен исте основе. Из $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ , где је $a > 0$ и $a \neq 1$ , следи $f(x) = g(x)$ . Бројеве препознајте као степене: $8 = 2^3$ , $\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , $0{,}25 = 2^{-2}$ , $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}}$ . Затим примените правила $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$ , $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$ , тако да на свакој страни остане само један степен. Тек тада изједначите изложиоце и решите добијену линеарну или квадратну једначину. Ако се у изложиоцу појави $\frac{1}{x}$ , после множења са $x$ добијате квадратну једначину, а $x = 0$ није дозвољено. Решење проверите заменом у почетну једначину. Честа грешка је $(2^3)^x$ записати као $2^{3 + x}$ уместо $2^{3x}$ .

Број пресавијања3

Број слојева: 8
Дебљина: 0,8 mm

Свако пресавијање удвостручи број слојева, па је дебљина

0{,}1 \cdot 2^n

mm. Дебљину од 12,8 mm (испрекидана права) лист достиже тачно после 7 пресавијања, јер је

2^7 = 128

.

Овако се рачуна колико удвостручавања или преполовљавања треба да се стигне до неке вредности: колико пута треба пресавити папир, колико генерација бактерија протекне или колико корака треба бинарној претрази.

Пресавијање папира

Лист папира дебео је 0,1 mm. Сваким пресавијањем на пола дебљина се удвостручи. Колико пута треба пресавити лист да би био дебео 12,8 mm?

Решење

После $n$ пресавијања дебљина је $0{,}1 \cdot 2^n$ mm, па решавамо $0{,}1 \cdot 2^n = 12{,}8$ .
Поделимо са $0{,}1$ : $2^n = 128$ .
Број 128 је степен двојке, $128 = 2^7$ , па из $2^n = 2^7$ следи $n = 7$ .
Провера: $0{,}1 \cdot 2^7 = 0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

Одговор: Лист треба пресавити 7 пута.

Задатак за вежбу

Решите једначину $4^{x + 1} = 8^{x - 1}$ .

Прикажи решење

$2^{2(x + 1)} = 2^{3(x - 1)}$ , па је $2x + 2 = 3x - 3$ и $x = 5$ . Провера: $4^6 = 8^4 = 4096$ .