Експоненцијалне неједначине 2

Решавање експоненцијалне неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну неједначину.

пр.5) ${\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^2}}}}} \geqslant 1$

пр.6) ${2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0$

пр.7) $5 \cdot {2^{x + 1}} - 3 \cdot {2^{x - 2}} < 74$

Сложеније експоненцијалне неједначине решавају се истим поступцима као једначине, уз пажњу на знак. Ако је на десној страни 1, запишите је као $a^0$ : за $0 < a < 1$ неједначина $a^{f(x)} \geqslant 1$ значи $f(x) \leqslant 0$ , а разломљени изложилац решавате табелом знакова. Ако се појављују $a^x$ и $a^{-x}$ , уведите смену $t = a^x > 0$ , где је $a^{-x} = \frac{1}{t}$ ; помножите са $t$ , што не мења знак, и решите квадратну неједначину. Интервал $t_1 < t < t_2$ вратите у $x$ као $a^{x_1} < a^x < a^{x_2}$ . Кад се изложиоци разликују за константу, извуците $a^x$ испред заграде. Честа грешка је заборавити да смена захтева $t > 0$ .

Граница6 хиљ.

Од: 1 мес.
До: 2 мес.

Пуна крива је збир растуће

2^t

и опадајуће

8 \cdot 2^{-t}

(испрекидано). Решења су

t

у којима је збир испод праве, зелени део осе. Најмања вредност збира је

2\sqrt{8} \approx 5{,}66

хиљада, у

t = 1{,}5

: за нижу границу решења нема.

Овакве неједначине одговарају на питање у ком периоду збир једне растуће и једне опадајуће величине остаје испод границе, на пример укупан број корисника нове и старе верзије апликације.

Нова и стара апликација

Фирма из Ниша објавила је нову верзију апликације. Нова верзија има 1.000 корисника, а тај број се удвостручује сваког месеца. Стара верзија има 8.000 корисника, а тај број се сваког месеца преполови. Фирма жели да сервере пресели док обе верзије заједно имају мање од 6.000 корисника. У ком периоду је то могуће?

Решење

У хиљадама, после $t$ месеци укупно је $2^t + 8 \cdot 2^{-t}$ корисника, па решавамо $2^t + 8 \cdot 2^{-t} < 6$ .
Смена $s = 2^t > 0$ , $2^{-t} = \frac{1}{s}$ : $s + \frac{8}{s} < 6$ . Множимо са $s > 0$ : $s^2 - 6s + 8 < 0$ .
Нуле су $s = 2$ и $s = 4$ , а парабола је отворена навише, па је $2 < s < 4$ .
Враћамо смену: $2^1 < 2^t < 2^2$ , а основа 2 је већа од 1, па је $1 < t < 2$ .

Одговор: Укупан број корисника мањи је од 6.000 између краја првог и краја другог месеца после објављивања.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $2^{x + 2} - 2^{x - 1} < 56$ .

Прикажи решење

$2^x\left(4 - \frac{1}{2}\right) < 56$ , тј. $\frac{7}{2} \cdot 2^x < 56$ , па је $2^x < 16 = 2^4$ и $x < 4$ .