Једначина x2=−1 нема решење међу реалним бројевима, јер квадрат реалног броја није негативан. Зато се уводи имагинарна јединица i, број за који важи i2=−1. Помоћу ње кореновање се проширује на негативне бројеве: −a=ia за a>0, на пример −16=4i и −5=i5. Број облика a+bi, где су a и b реални бројеви, зове се комплексан број.
Степени броја i понављају се са периодом 4: i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1. За велики изложилац гледајте остатак при дељењу са 4: i27=i24⋅i3=−i. Честа грешка: −4⋅−9 није 36=6, него 2i⋅3i=6i2=−6.
Мењајтеизложилацn
Остатак n : 4
1
Реални део од iⁿ
0
Имагинарни део од iⁿ
1
Кад n повећате за 1, тачка in се окрене за 90∘ око координатног почетка: множење са i је окрет. После четири корака враћа се у 1, зато је i4=1, а in зависи само од остатка при дељењу n са 4.
Примеризживота
Електроинжењери наизменичну струју и напон рачунају комплексним бројевима, а исти рачун користи обрада звука и сигнала у телефонима и Wi-Fi уређајима.
Карданова загонетка
Италијански математичар Ђироламо Кардано је 1545. године тражио два броја чији је збир 10, а производ 40. Покажите да таква два реална броја не постоје и нађите их међу комплексним бројевима облика 5+t и 5−t.
Решење
Бројеви 5+t и 5−t увек имају збир 10. Њихов производ је (5+t)(5−t)=25−t2.
За реално t је t2≥0, па производ није већи од 25. Производ 40 захтева t2=−15, а то ниједан реалан број не испуњава.
Са имагинарном јединицом: за t=i15 је t2=i2⋅15=−15.
Провера: (5+i15)+(5−i15)=10 и (5+i15)(5−i15)=25−(−15)=40.
Одговор:Тражени бројеви су 5+i15 и 5−i15: збир им је 10, а производ 40.
Задатак за вежбу
Израчунајте i43 и −49+−4−−1.
Прикажи решење
43=4⋅10+3, па је i43=i3=−i. Други израз: 7i+2i−i=8i.
Уз вашу дозволу бројимо посете и меримо ефекат огласа. Без ње, сајт ради исто, а ми не шаљемо ништа
Google-у ни друштвеним мрежама. Детаљи су у политици приватности.
