Синусна теорема 1

Синусна теорема, дефиниција, једноставни примери.

Синусна теорема каже да су у сваком троуглу странице пропорционалне синусима наспрамних углова: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$ , где је $R$ полупречник описаног круга. Користите је кад знате страницу и два угла, а трећи угао добијате из $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ , или кад знате две странице и угао наспрам једне од њих.

Из пропорције изразите непознату, на пример $b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}$ . Наспрам веће странице увек лежи већи угао, што је добра провера резултата. Честа грешка је упарити страницу са углом који није наспрам ње: $a$ иде са $\alpha$ , $b$ са $\beta$ , а $c$ са $\gamma$ .

a / sin α: 7,1
b / sin β: 7,1
c / sin γ: 7,1
2R: 7,1

Померајте темена: четири броја се мењају, али су увек међусобно једнака, јер је однос странице и синуса наспрамног угла пречник описаног круга. Кад угао постане туп, теорема и даље важи, јер је

\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma

.

Геометри синусном теоремом рачунају растојања до тачака до којих не могу да дођу, као што су друга обала реке или врх брда: измере једну дуж и два угла. На истом начелу, триангулацији, настајале су топографске карте.

Ширина реке

Геометар жели да одреди ширину реке. На својој обали обележи тачке $A$ и $B$ на растојању од 100 m, а на супротној обали види дрво $C$ . Измери углове $\measuredangle CAB = 75^\circ$ и $\measuredangle CBA = 60^\circ$ . Колико је дрво удаљено од тачке $A$ и колика је ширина реке?

Решење

Трећи угао троугла је $\gamma = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$ .
Страница $AC$ лежи наспрам угла код $B$ , а $AB$ наспрам угла код $C$ : $\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ}$ .
$AC = \frac{100 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{100 \cdot \frac{\sqrt 3}{2}}{\frac{\sqrt 2}{2}} = 50\sqrt 6 \approx 122{,}47$ m.
Ширина реке је растојање од $C$ до праве $AB$ , висина троугла: $d = AC \cdot \sin 75^\circ \approx 122{,}47 \cdot 0{,}9659 \approx 118{,}3$ m.

Одговор: Дрво је од тачке $A$ удаљено око 122,5 m, а река је широка око 118,3 m.

Задатак за вежбу

У троуглу је $a = 8$ cm, $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 45^\circ$ . Израчунајте страницу $b$ и полупречник $R$ описаног круга.

Прикажи решење

$b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt 2}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31$ cm; $2R = \frac{a}{\sin\alpha} = 16$ , па је $R = 8$ cm.