Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Свођење на први квадрант 1

Свођење вредности тригонометријских функција на први квадрант. Једноставни примери.

Вредност тригонометријске функције било ког угла сводите на вредност оштрог угла из првог квадранта. Прво уклоните пуне кругове: sin⁡(α+k⋅360∘)=sin⁡α\sin (\alpha + k \cdot 360^\circ) = \sin \alpha и cos⁡(α+k⋅360∘)=cos⁡α\cos (\alpha + k \cdot 360^\circ) = \cos \alpha, а тангенс и котангенс имају период 180∘180^\circ. Затим угао напишите као 180∘−α180^\circ - \alpha, 180∘+α180^\circ + \alpha или 360∘−α360^\circ - \alpha, са оштрим α\alpha: функција остаје иста, а знак одређује квадрант полазног угла. Оштар угао α\alpha је референтни угао, угао између крајњег крака и осе xx.

Тако је sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡240∘=−cos⁡60∘=−12\cos 240^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} и tg⁡315∘=−tg⁡45∘=−1\operatorname{tg} 315^\circ = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1. За негативне углове важи sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin (-\alpha) = -\sin \alpha и cos⁡(−α)=cos⁡α\cos (-\alpha) = \cos \alpha. Најчешћа грешка је знак, па прво одредите у ком је квадранту полазни угао.

α = 240°1−11−1OxyIIIIIIIVPsin αcos αα180° − α180° + α360° − α
Референтни угао
60°
sin α
−0,866
cos α
−0,5
Квадрант
3
Тачке углова α\alpha, 180∘−α180^\circ - \alpha, 180∘+α180^\circ + \alpha и 360∘−α360^\circ - \alpha симетричне су у односу на осе и координатни почетак, па имају исте синусе и косинусе до на знак. Једна од њих је увек у првом квадранту: за 240∘240^\circ то је тачка референтног угла 60∘60^\circ.

Пилоти и навигатори правац кретања задају курсом од 0∘0^\circ до 360∘360^\circ, а колико летелица или брод напредује ка истоку и ка северу рачунају синусом и косинусом курса, у ком год квадранту он био.

Курс авиона

Мали авион полеће са аеродрома крај Ниша и лети брзином 300 km/h курсом 240∘240^\circ (курс се мери од севера, у смеру казаљке на сату). Колико километара за пола сата пређе ка западу, а колико ка југу?

Решење

  1. За пола сата авион пређе 300⋅0,5=150300 \cdot 0{,}5 = 150 km.
  2. Кад се курс мери од севера, помак ка истоку је 150sin⁡240∘150 \sin 240^\circ, а помак ка северу 150cos⁡240∘150 \cos 240^\circ.
  3. 240∘=180∘+60∘240^\circ = 180^\circ + 60^\circ је у трећем квадранту, где су синус и косинус негативни: sin⁡240∘=−sin⁡60∘=−32\sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} и cos⁡240∘=−cos⁡60∘=−12\cos 240^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.
  4. Помак ка истоку је 150⋅(−32)=−753≈−129,9150 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -75\sqrt{3} \approx -129{,}9 km, а ка северу 150⋅(−12)=−75150 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -75 km. Негативни знакови значе запад и југ.

Одговор: Авион за пола сата пређе око 129,9 km ка западу и 75 km ка југу.

Задатак за вежбу

Сведите на први квадрант и израчунајте: cos⁡150∘\cos 150^\circ, sin⁡330∘\sin 330^\circ, tg⁡225∘\operatorname{tg} 225^\circ и sin⁡780∘\sin 780^\circ.

Прикажи решење

cos⁡150∘=−cos⁡30∘=−32\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡330∘=−sin⁡30∘=−12\sin 330^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}, tg⁡225∘=tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 225^\circ = \operatorname{tg} 45^\circ = 1 и sin⁡780∘=sin⁡60∘=32\sin 780^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.