Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Тригонометријски круг

Тригонометријски круг. Очитавање вредности тригонометријских функција са тригонометријског круга.

Тригонометријски круг је круг полупречника 1 са центром у координатном почетку. Угао α\alpha наносите од позитивног дела осе xx, а његов крајњи крак сече круг у тачки PP. Координате те тачке су P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos \alpha, \sin \alpha): косинус читате на оси xx, а синус на оси yy. Зато за сваки угао важи −1≤sin⁡α≤1-1 \le \sin \alpha \le 1 и −1≤cos⁡α≤1-1 \le \cos \alpha \le 1.

Знак зависи од квадранта: у првом су синус и косинус позитивни, у другом је позитиван само синус, у трећем су оба негативна, а у четвртом је позитиван само косинус. Тангенс читате на правој x=1x = 1, а котангенс на правој y=1y = 1. Углови α\alpha и α+k⋅360∘\alpha + k \cdot 360^\circ дају исту тачку, па имају исте вредности функција.

α = 210°P(−0,87; −0,5)1−11−1OxyIIIIIIIVPsin αcos αα
sin α
−0,5
cos α
−0,866
Квадрант
3
Висина кабине 22 + 20 sin α
12 m
Тачка PP има координате (cos⁡α,sin⁡α)(\cos \alpha, \sin \alpha). Пратите како се знакови синуса и косинуса мењају из квадранта у квадрант и како висина кабине прати синус.

Тригонометријски круг описује свако обртање: инжењери из њега рачунају положај кабине на панорамском точку, врха лопатице ветрогенератора или вентила на точку бицикла.

Панорамски точак

Панорамски точак у забавном парку има пречник 40 m, а осовина му је на висини 22 m. Кабина креће из положаја десно од осовине, у њеној висини, а точак се окреће у позитивном смеру. На којој је висини кабина кад точак опише угао од 210∘210^\circ?

Решење

  1. Ако је центар точка координатни почетак, кабина је у тачки (20cos⁡α,20sin⁡α)(20\cos \alpha, 20\sin \alpha), па је њена висина h=22+20sin⁡αh = 22 + 20\sin \alpha.
  2. Угао од 210∘210^\circ је у трећем квадранту, где је синус негативан.
  3. На кругу је тачка угла 210∘210^\circ централно симетрична тачки угла 30∘30^\circ, па је sin⁡210∘=−sin⁡30∘=−12\sin 210^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}.
  4. h=22+20⋅(−12)=12h = 22 + 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 12 m.

Одговор: Кабина је тада на висини од 12 m.

Задатак за вежбу

Помоћу тригонометријског круга одредите cos⁡120∘\cos 120^\circ, sin⁡270∘\sin 270^\circ и tg⁡135∘\operatorname{tg} 135^\circ.

Прикажи решење

cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} (други квадрант), sin⁡270∘=−1\sin 270^\circ = -1 (тачка (0,−1)(0, -1)) и tg⁡135∘=sin⁡135∘cos⁡135∘=−1\operatorname{tg} 135^\circ = \frac{\sin 135^\circ}{\cos 135^\circ} = -1.