Основне релације између тригонометријских функција

Основне релације између тригонометријских функција. Објашњење и извођење релација.

Кад се Питагорина теорема $a^2 + b^2 = c^2$ подели са $c^2$ , добија се основни идентитет $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ . Из дефиниција следе и $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$ . За комплементне углове важи $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ и $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha$ .

Ове релације омогућавају да из једне познате функције оштрог угла израчунате све остале: из $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ следи $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{4}{3}$ . Релације важе за сваки оштар угао, ма колики био троугао. Кад је задат тангенс, згодна је и последица $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ . Кад кореновањем добијете $\pm$ , за оштар угао узмите позитиван знак. Пазите на запис: $\sin^2\alpha$ значи $(\sin\alpha)^2$ , а не $\sin(\alpha^2)$ .

Катета a3

Катета b4

sin²α = a²/c²: 0,36
cos²α = b²/c²: 0,64
sin²α + cos²α: 1
tg α = sin α : cos α: 0,75

Квадрати над катетама заједно имају површину квадрата над хипотенузом. Кад све три површине поделите са

c^2

, добијате

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

, ма какав био троугао.

Нагиб пута или рампе често се задаје само у процентима, а то је $100 \cdot \operatorname{tg}\alpha$ . Из основних релација се онда добијају синус и косинус, потребни за дужину рампе и висину успона.

Мердевине уз зид

Уобичајено безбедносно правило за прислоњене мердевине каже да подножје треба да буде удаљено од зида око четвртину дужине мердевина, што даје угао од око $75^\circ$ према тлу. Узмимо тачно четвртину: тада за угао $\alpha$ између мердевина и тла важи $\cos\alpha = \frac{1}{4}$ . Израчунајте $\sin\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$ , па одредите до које висине досежу мердевине дуге 4 m.

Решење

Из $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ је $\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ , а пошто је угао оштар, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{15}}{4} : \frac{1}{4} = \sqrt{15}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$ .
Висина је катета наспрам угла $\alpha$ , а мердевине хипотенуза: $h = 4 \cdot \sin\alpha = \sqrt{15} \approx 3{,}87$ m.

Одговор: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{15}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}$ , а мердевине од 4 m досежу до висине од око 3,87 m.

Задатак за вежбу

Ако је $\sin\alpha = \frac{9}{41}$ и $\alpha$ оштар угао, израчунајте $\cos\alpha$ , $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$ .

Прикажи решење

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}$ , па је $\cos\alpha = \frac{40}{41}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{9}{40}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{40}{9}$ .